Bonjour

[invite493f6896]

Bonjour j'ai un exercice de math que je n'arrive pas à résoudre:
Voila la question:Montrer que pour tout réel x ,f(x)+2x=1/f(x)
sachant que f(x)= racine carrée de(x^2+1) -x

Voila j'espère pouvoir trouver de l'aide car je suis a bout je ne vois vraiment pas comment faire
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[Universus]

Tu as à démontrer que . Cela revient finalement à considérer la fonction et de montrer, étant donné la définition de , que pour tout x réel (car selon la définition donnée ci-dessus de g(x), tu as à démontrer que ).

Néanmoins, il y a un détail supplémentaire à considérer, car tu n'as pas tout à fait à démontrer la relation , mais bien . Or, si pour un certain x réel tu as f(x)=0, le membre de gauche vaut 2x et celui de droite diverge, d'où un problème. Il faut donc que tu t'assures que f(x) n'est jamais nul (soit que ne diverge jamais).

[invite493f6896]

je suis dsl c'est trés gentil de m'avoir répondu mais franchement je suis encore plus dans le flou je ne comprend absolument pas ton explication^^'

[Universus]

D'accord,

. Tu comprendras (j'espère du moins ^^) plus tard pourquoi, mais demandons-nous en un premier temps si f(x)=0 pour un certain x :



Cette contradiction (en considérant aussi le fait que nous n'avons jamais fait une étape consistant possiblement en une division par 0, chose qui aurait pu mener à une telle conclusion) implique que jamais f(x) ne peut être nul.

Si f(x) avait pu être nul pour un certain x alors aurait eu une valeur non définie, une valeur infinie. Pourtant, on cherche à montrer que cette fraction égale pour tout x réel à qui pour n'importe quel x réel ne diverge pas. Ainsi, si on avait eu un x réel (c'est-à-dire ne prenant pas une valeur infinie) tel que f(x) = 0, on aurait eu que la quantité f(x)+2x = 2x (qui ne diverge pas) devrait égaler quelque chose qui diverge... Bref, pour les éventuels x où f(x)=0, l'égalité qu'on veut démontrer n'aurait pas tenue. Ainsi, il aurait été impossible que l'égalité tienne pour tous les réels comme il est mentionné dans ton message initial. Néanmoins, dans le paragraphe précédent, on a montré que f(x) n'égale jamais 0 et donc l'égalité que tu veux montrer fait a priori toujours du sens.

Maintenant, si tu regardes l'égalité que tu veux démontrer et que tu multiplies chaque côté par f(x), tu obtiendras une nouvelle égalité à démontrer (si tu démontres cette nouvelle égalité, tu auras conséquemment démontré l'égalité qu'on te demande de prouver) :



Alors, que vaut ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[cpalperou]

Salut,
en plus simple: calcule f(x)+2x et calcule 1/f(x) et tu vois que les 2 expressions obtenues sont les mêmes!
ps: pense au fait que quand tu as une racine au dénominateur, il est souvent utile de la supprimer en multipliant par l'expression conjuguée (si t'as au dénominateur une expression du style "racine(truc)+machin" multiplie numérateur et dénominateur par "racine(truc)-machin") ou par la racine elle même (si t'as juste "racin(truc) au dénomi, multiplie num et dén par "racin(truc)").
Bon courage