Château et suite

[mj4]

Bonjour, j'ai un exercice qui me pose problème, pourriez vous vérifier mes calculs?

Voici l'énoncé:

On veut fabriquer un chateau de carte à n niveaux avec n 1
On a représenté ci-dessous un chateau à 4 niveaux
1) On me demande de calculer le nombre de cartes nécessaires pour fabriquer un chateau à 10 niveaux
2) quelle taille aura le plus grand chateau que l'ont peut construire avec 500 cartes?

Mes réponses:

1) je nomme 2 suites:

(Un) les cartes verticale par niveau (n) : Un= 2n c'est une suite arithmétique (mais comment le prouver)
(Vn) les cartes horizontales par niveau : Vn = n-1 c'est aussi une suite arithmétique (mais comment le justifier)

(Sn) le nombre de carte pour un chateau de n étages:
Sn= (3n +n) / 2

pour un chateau de 10 niveau, je calcule et j'obtiens: S10 = 155

2) Cette fois avec 500 cartes:

Sn < 500
(3 (n au carré) +n) / 2 < 500
(3 (n au carré) +n) -1000 < 0

soit f(x) = 3 (x au carré) + x - 1000

je calcule = 12 001
et donc x1= (-1 - 12001 ) /6 -18,42
x2= (-1 + 12001 ) /6 18,09

je fais un tableau de signe et j'en déduis que x=18 donc n=18
on peut donc construire 18 étage au maximum
ce qui correspond à 495 cartes


Merci d'avance
-----

[mj4]

oups j'avaisd oublié de mettre l'image

[SchliesseB]

alors:
(Un) les cartes verticale par niveau (n) : Un= 2n c'est une suite arithmétique (mais comment le prouver)

au niveau 1: 2 cartes
au niveau 2: 4 cartes

au niveau n: 2n cartes

par récurrence: passer d'un niveau a celui d'après rajoute un "pied" soit 2 cartes

(Vn) les cartes horizontales par niveau : Vn = n-1 c'est aussi une suite arithmétique (mais comment le justifier)

au niveau 1: 0 carte
au niveau 2: 1 carte

au niveau n: n-1 cartes

par récurrence: passer d'un niveau a celui d'après rajoute une carte

Sn=U1+U2+....+Un+V1+V2+...+Vn
à partir de là, comme on connait les sommes de suites arithmétiques, c'est ok
Sn=2+4+6+...+2n+0+1+2+...+n-1
=2(1+2+...+n)+(1+2+...+n-1+n)-n
=3n(n+1)/2-n=(3n²+n)/2


2) on résoud Sn<500

moi je trouve 18 étages (pour 495 cartes: 19 étages donnent 551)

où est le problème alors?

[mj4]

Bonjour, merci de m'avoir répondu, en faite c'était pour vérifier mes résultats,

[A voir en vidéo sur Futura]

[mj4]

Et juste pour S10 vous trouvez bien 155 ?

Merci d'avance