DM de géo

[invite5e7549bf]

Bonjour, j'ai un DM à rendre pour vendredi et je bloque total, j'ai cherché toute la soirée mais j'ai rien qui tient la route et je sais plus de quel côté aller. Si quelqu'un pouvait m'aider ça serait vraiment sympa.

Voici l'énoncé:
On considère un tétraèdre ABCD tel que:
-les arêtes[DA],[DB] et [DC] sont de même longueur(6cm).
-les arêtes [DA],[DB] et [DC] sont deux à deux perpendiculaires.
Sur ces arêtes [DA],[DB] et [DC], on place les points P,Q et R tels que DP=BQ=CR=x(en cm)
On s'intéresse au volume V(x) du tétraèdre DPQR.
1. Exprimer, en fonction de x , l'aire de la base DQR et la hauteur DP du tétraèdre DPQR.
2.En déduire que V(x)=1/6x^3-2x²+6x.
3.Démontrer que, pour tout x de [0;6], V(x)-V(2)=1/6(x-8)(x-2)².
4.En déduire le volume maximal de DPQR.

Merci d'avance pour l'aide qui me sera tès précieuse.
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[invite97e38b72]

Ouais, je vois ... Tu ne serais pas en 1ere S à Descartes par exemple ?
Le principe d'un forum, ce n'est pas forcément de donner la solution alors voici un peu d'aide :
1 - Là, c'est vraiment tout simple, réfléchis ... On sait que "les arêtes DA, DB et DC sont deux à deux perpendiculaires", ce qui signifie que le triangle DQR est rectangle en D. Pour trouver sa surface, tu ne devrais plus avoir de problème.
2 - Tu dois connaître la formule de calcul du tétraèdre (il me semble que le prof vous l'a donné ). V = (B * h)/3 ou B est la surface de sa base et h sa hauteur. Tu remplaces B et h par les données que tu as et tu développes.
3 et 4 - J'ai pas encore eu le temps de m'y pencher. Dès que c'est fait, je te fais signe. En attendant, tu as déjà de quoi faire.

JP

[invite844a201d]

a tu fais un dessin??
dessine ton tetraèdre. comme ses arêtes sont 2 à 2 perpendiculaires et se croisent en D (le sommet) tu peux representer ton tétraèdre dans un repère orthonormé de l'espace d'origine D et en mettant sur chacun des 3 axes A, B ou C à une distance 6 cm de l'origine.
après place tes points P, Q et R. tu as plus qu'a lire ton dessin.

1) aire de DQR? c'est un triangle : aire= base*hauteur/2=DR*DQ/2
de ton énoncé tu as DR=DQ=6-x
aire DQR= (6-x)²/2 et DP=x (dans ton énoncée)

2) volume tétraèdre: tu sors ton livre de maths et tu trouves V=1/3*B*H avec B l'aire de la base et H la hauteur.
donc pour ton tétraèdre c'est DP*airedeDQR/3

3)c'est du calcul: tu devellopes le machin, tu calcules V(2) et tu verifie que V(x)-V(2)=machin

4) tu montres que ton truc (V(x)-V(2)) est négatif ou nul pour x plus petit que 6.
Donc pour tout x, V(x) est plus petit que V(2).
c'est donc pour 2 que le volume est max

[invite5e7549bf]

Ouais, je vois ... Tu ne serais pas en 1ere S à Descartes par exemple ?
Le principe d'un forum, ce n'est pas forcément de donner la solution alors voici un peu d'aide :
1 - Là, c'est vraiment tout simple, réfléchis ... On sait que "les arêtes DA, DB et DC sont deux à deux perpendiculaires", ce qui signifie que le triangle DQR est rectangle en D. Pour trouver sa surface, tu ne devrais plus avoir de problème.
2 - Tu dois connaître la formule de calcul du tétraèdre (il me semble que le prof vous l'a donné ). V = (B * h)/3 ou B est la surface de sa base et h sa hauteur. Tu remplaces B et h par les données que tu as et tu développes.
3 et 4 - J'ai pas encore eu le temps de m'y pencher. Dès que c'est fait, je te fais signe. En attendant, tu as déjà de quoi faire.

JP

Ouais j'suis bien à Descartes^^ . J'vois pas qui t'es mais en tout cas merci beaucoup parce que vraiment j'y comprenais pas grand chose.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5e7549bf]

Merci Docomort pour ton aide mais je sais pas quelle méthode utiliser pour trouver la valeur de x avec (6-x)²/2

[invite844a201d]

euh comment ca quelle question?

[invite97e38b72]

je sais pas quelle méthode utiliser pour trouver la valeur de x avec (6-x)²/2

Il n'y a pas à calculer (6-x)²/2 Comme te l'a indiqué Docomort, tu développes l'expression DP*airedeDQR/3, tu développes donc x(6-x)²/6 et tu verras que tu arrives au résultat demandé pour la question 2.
3 - Tu développes l'expression V(x) - V(2) donnée d'un côté. Tu calcules V(2) d'après l'expression trouvée en 2, tu poses V(x) - V(2), tu développes et si tu ne t'es pas trompé, tu tombes sur la même expression.
4 - Suivant la valeur de x, l'expression du 3 est soit nulle ( pour x=2 car (x-2)² = 0 dans ce cas), soit négative (signe de (x - 8) pour tout autre x ). Donc V(x) - V(2) <= 0
V(x) <= V(2). Quelque soit x le volume du tétraèdre est inférieur ou égal au volume d'un tétraèdre avec x = 2. Le volume est donc maximal pour x = 2.

Bon courage,

[invite5e7549bf]

Encore merci à vous deux j'pense que j'vais réussir à m'en sortir^^ merci!