Bonjour tout le monde,
J'ai un dm de maths à faire pour lundi et j'ai vraiment du mal à comprendre.. Pour ceux qu'ils sont courageux et bien gentils, je vous mets l'ennoncé:
Soit (O,i,j) un repere orthonormé dans le plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1 et I(1;0)
Nous allons etudier deux suites pour determiner une valeur approchée du perimetre de C
A. Avec des polygones reguliers inscrtis dans C
(la question 1 est trop facile, je vais commencer à la 2.)
2.Dans le polygone régulier à n sommets inscrit dans C et admettant I comme sommet, on considere J le sommet qui suit I en tournant dans le sens trigonometrique. soit ln=IJ
a. Montrer que Un=nln
b. Demontrer que (OI(vecteur);OJ(vecteur))=2pi/n modulo 2pi
c.Soit H le projeté orthogonal de J sur (OI).
Montrer que : sin(2pi/n)=JH cos(2pi/n)=OH et IH=1-cos(2pi/n)
d. en deduire que IJ V(racine)2-2cos(2pi/n), puis IJ=2sin(pi/n)
e. En deduire que Un=2sin(pi/n)
3. demontrer, en utilisant un argument geometrique que, pour tout entier naturel n superieur ou egal a 3: 2nsin(pi/n) superieur ou egal a 2pi
B. Avec des polygones réguliers exinscrits dans C
2. Dans le polygone regulier à n sommets exinscrit dans C on considere J le premier sommet qui suit I. soit Ln=IJ
a. Montrer que Vn=2nLn
b. demontrer que (OI;OJ) ( vecteur et arc) =pi/n modulo 2pi
c. Demontrer que Ln=tan(pi/n), puis Vn=2ntan(pi/n)
3. Demontrer en utilisant un argument geometrique que pour tout entier naturel n supérieur ou egal a 3: 2ntan(pi/n) superieur ou egal a 2pi
4. en deduire que pour tout n superieur ou egal a3: nsin(pi/n) superieur ou egal a pi superieur ou egal a ntan(pi/n)
5. on admet que pour tout x > ou egal a 0 : x-x^3/6 < ou egal a sinx <x. on pose x=pi/n montrer que : pi-(pi^3)/6n²) < ou egal nsin(pi/n)< ou egal a pi
en deduire lim nsin(pi/n) quand n tend vers +inf.
Merci d'avance.
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