Quand la récurrence s'impose ...

[Snowey]

Voilà, question en étroit rapport avec le bac de maths de cette année, puisqu'elle cible la dernière question de l'execice III.
On considère la suite définie pour tout n supérieur ou égal à 1.
Après conjecture de son sens de variation (décroissante) il faut:
1) prouver qu'elle est bien décroissante marche très bien
2) prouver sa convergence (décroissante et positive donc convergente)
3) déterminer

Bon, là j'ai fait une intégration par partie, et suis parvenu à (je crois). En utilisant la décroissance déjà prouvée, on peut faire la majoration suivante: et conclure par le théorème des gendarmes.

Mais voilà, à aucun instant je n'ai eu recours au principe de récurrence
Fallait-il nécessairement l'utiliser (notamment pour la dernière question, parce que pour les autres je ne crois pas, si ? ) ? Bien que je pose la question, il me semble que oui ...
Et, d'avance, cette faute (de logique) est-elle très pénalisante ?

Merci beaucoup
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[Snowey]

PS: finalement, je veux bien une p'tite explication pour l'emploi logique et habile de ce fameux principe de récurrence ^^
Parce que là, tout compte fait, je ne comprendrais pas toute son utilité (excepté qu'il est devenu un "réflexe" dès que l'on s'approche des suites et des "pour tout n", mais les réflexes ne sont pas toujours bons, n'est-ce-pas ?)
Puisque la suite est définie, par nature, à tout rang n, une hérédité semble inutile, non ? (supposons qu'elle est vraie alors qu'elle est définie)

Bref, vous le voyez, le bac ça fait douter ...

Quoiqu'il en soit, merci beaucoup d'avance d'éclairer ma lanterne

[Tiky]

Bonjour, le principe de récurrence est totalement inutile ici. Il suffit de remarquer que :

Donc
D'où

En revanche je suis curieux de voir comment tu as démontré que . J'ai bien une démonstration mais elle est plutôt du niveau L1.

[Tiky]

Je n'avais pas vu ta démonstration :S. Elle est juste et beaucoup plus simple que la mienne.

Pour ma part, j'étais revenu à la définition de la convergence.

Soit et .


Or pour tout , il existe un tel que

On choisit un tel A. Il existe alors un tel que ,

Et donc ,

[A voir en vidéo sur Futura]

[DSCH]

La preuve de Snowey est correcte, et il n’y a en effet pas de démonstration par récurrence à faire (il n’est pas nécessaire par exemple d’avoir une expression explicite de en fonction de ).

Une preuve sans intégration par parties : pour tout , (par décroissance de la fonction qui vaut en ). Donc, on a, pour tout entier naturel ,
.
Or, l'intégrale du membre de droite de cette dernière inégalité se calcule explicitement et fournit une majoration analogue à celle établie par Snowey (pour tout entier naturel , ). On conclut avec le théorème des gendarmes, sachant que toutes les intégrales sont positives.

Je trouve la question difficile car elle incite les élèves à intervertir bêtement limite et intégrale, ce qui n’est pas toujours possible, comme ils le verront… deux ans plus tard !

[Snowey]

Merci beaucoup alors !
Pour DSCH, je l'apprendrai dans deux ans alors

[Thorin]

une question sympa aurait été de demander de mettre l'intégrale sous forme de somme de produit d'entiers^^

[Seirios]

Comment ça, mettre l'intégrale sous forme de somme de produit d'entiers ? (l'intégrale n'est entière que pour n=0,1 )

En utilisant la relation de récurrence, je trouve que ; c'est de cela dont tu parles ? (Parce que je ne trouve pas cela si sympatique que ça .)

[kaderben]

Bonjour
Je suis curieux de savoir comment démontrer cette limite par récurrence. J'avoue que je n'ai jamais vu ça

P(n): lim In=0
I1 différent de 0 (intégration par parties) donc ça marche pas.
Donc peut être c'est P(n) qu'il faut écrire autrement, mais comment ?
Merci pour une piste...

[Seirios]

Je suis curieux de savoir comment démontrer cette limite par récurrence. J'avoue que je n'ai jamais vu ça

P(n): lim In=0

La proposition P(n) ne dépend pas de n, donc difficile de faire une récurrence...

[kaderben]

Bonjour
Mais Tiky et Snowey ont parlé de recurrence, comment ils s'y prendront ?
Merci

[Snowey]

Justement, Kaderben, la récurrence est inutile
Une IPP ou une majoration par une intégrale plus simple sont deux méthodes qui fonctionnent pour trouver la limite.

Une question pour Seirios: comment trouver une telle formule "comme ça" ?
Y a t'il une méthode ? Parce que je suppose que tu pars de la formule trouvée après IPP, mais celle ci dépend de n et de In, ce qui n'est pas "classique" en terminale ... (pour la résolution en tout cas) ^^
Merci

[Seirios]

J'ai juste travaillé sur la relation de récurrence. En calculant les premiers termes, on s'aperçoit que l'on peut écrire avec et deux suites d'entiers, dont on déduit une relation de récurrence. Pour , tout ce passe bien et on trouve ; pour , la relation est un peu moins agréable, mais on trouve facilement une expression de en l'exprimant successivement en fonction de , , ..., . En arrangeant un peu l'expression de , on trouve (modulo les erreurs de calculs) une expression de .

[Snowey]

Oki
Je vais alors m'entrainer pour essayer de le faire, c'est toujours utile, ou en tout cas intéressant

Merci beaucoup (oui, encore ! ahah)

[Snowey]

Re bonjour Seirios

J'ai bien essayé de reproduire ton raisonnement, en partant de l'expression , mais je ne retrouve pas tout à fait ta formule ...
Je parviens à obtenir (en tâtonnant un peu, bien sûr), en travaillant sur , l'expression suivante qui s'avère correcte pour les 4 premières valeurs de n. J'ai tenté une récurrence, qui partait plutôt bien, mais je ne maîtrise pas assez bien la notation des sommes pour prouver mon résultat:
j'obtiens, après avoir établi l'initialisation, que j'ai du mal à transformer, sans compter que je ne sais pas comment doit être , en prennant bien évidemment ...

J'arriverais alors à

Je me doute bien que ce sont mes calculs qui sont faux, pourtant les premiers résultats semblent montrer un "comportement plutôt correct" de cette expression :/
J'ai du me tromper dans l'expression de bn ou dans mes calculs de vérification ...
Qu'en penses-tu ? (si je peux tutoyer, bien sûr, sinon ce sera qu'en pensez vous)
Merci d'avance,
Snowey (au moins, j'ai essayé )

[DSCH]

J'arriverais alors à

Je me doute bien que ce sont mes calculs qui sont faux, pourtant les premiers résultats semblent montrer un "comportement plutôt correct" de cette expression :/
J'ai du me tromper dans l'expression de bn ou dans mes calculs de vérification ...
Qu'en penses-tu ? (si je peux tutoyer, bien sûr, sinon ce sera qu'en pensez vous)
Merci d'avance,
Snowey (au moins, j'ai essayé )

Il me semble aboutir au même résultat que Snowey, mais j’ai fait les calculs très vite et n’ai pas le temps de vérifier maintenant… Les outils que j’utilise dépassent un peu le cadre du lycée, mais n’ont rien de révolutionnaire (la formule de Taylor avec reste intégral se montre par récurrence et cela doit revenir au calcul de Snowey, que j’avoue ne pas avoir suivi de près).

Après le changement de variable x=1-t, (dx=-dt), on voit qu’on peut écrire

et on reconnaît le reste du développement de Taylor avec reste intégral à l’ordre n de la fonction (qui est égale à toutes ses dérivées) entre 0 et 1.

On a donc
,
ce qui donne,
,
qui équivaut à la dernière formule du message de Snowey auquel je réponds.

[Seirios]

Un 2 s'est transformé en 1 dans mes calculs...Je suis d'accord avec votre résultat.

[Snowey]

Merci beaucoup de ta réponse, DSCH
J'y étais presque, alors, puisque j'ai "juste" comme erreur au lieu de ...

Je me rends compte que mon expression correspond à

[Snowey]

Ah, excusez moi, je viens de me rendre compte que j'avais en fait

Je retrouve donc le même résultat:
Veuillez m'excuser ^^

PS: Quel est l'intérêt, si l'on excepte le raisonnement même, d'une telle formule ?

PS (bis): Je suppose qu'en partant de cette formule, établir la limite de la suite est plus dur, non ?

Merci

[Seirios]

PS: Quel est l'intérêt, si l'on excepte le raisonnement même, d'une telle formule ?

Avec une expression explicite, on peut plus facilement "voir" certaines propriétés qui peuvent être utiles (comme une majoration ou une minoration, un comportement asymptotique, etc.).

PS (bis): Je suppose qu'en partant de cette formule, établir la limite de la suite est plus dur, non ?

Pas nécessairement. Il suffit de montrer que ; mais la première méthode me venant à l'esprit est d'utiliser le développement de Taylor avec reste intégral, ce qui revient à déterminer la limite de l'intégrale (donc ici cela n'apporte rien, mais cette limite se détermine facilement avec un argument de série de fonctions donc dans l'absolu on peut tout à fait déterminer la limite de cette expression).

[Thorin]

Avec une expression explicite, on peut plus facilement "voir" certaines propriétés qui peuvent être utiles (comme une majoration ou une minoration, un comportement asymptotique, etc.).
Pas nécessairement. Il suffit de montrer que ; mais la première méthode me venant à l'esprit est d'utiliser le développement de Taylor avec reste intégral, ce qui revient à déterminer la limite de l'intégrale (donc ici cela n'apporte rien, mais cette limite se détermine facilement avec un argument de série de fonctions donc dans l'absolu on peut tout à fait déterminer la limite de cette expression).

justement, a contrario, on peut, sachant que tend vers 0, montrer que , ce qui donne donc de l'intérêt à l'expression qu'on a...moi je trouvais que ça aurait été sympa comme question à rajouter =)

Si un TS, sur une copie de bac, était capable de trouver cette expression tout seule, rien que pour ça, il aurait mérité un 20

[Snowey]

Tu as raison, Thorin, celà mériterais peut être 20, mais encore faudrait-il qu'un terminale moyen comprenne cette notation (ce n'est pas mon cas, même si je pense que celà à un rapport avec le développement limité ou un truc du style, non ?) (mais je ne suis pas une référence en maths niveau terminale , c'est clair (dans le sens moins bon, bien sûr) ) Ahah ^^
Déjà, trouver la limite est un bon point, non ?

[Seirios]

Tu as raison, Thorin, celà mériterais peut être 20, mais encore faudrait-il qu'un terminale moyen comprenne cette notation (ce n'est pas mon cas, même si je pense que celà à un rapport avec le développement limité ou un truc du style, non ?)

Cela signifie qu'il existe une suite tendant vers 0 telle que . Donc cela donne une idée de la "vitesse de convergence" de vers e.

[Thorin]

Et ça s'appelle les notation de landau, si tu veux chercher

[Snowey]

Merci beaucoup à vous deux !!
J'y ai jeté un coup d'oeil, et j'aurai sans doute quelques questions (oui, oui, encore ahah ^^). (c'est du programme MPSI, non ? )
Mais à tête reposée.
Merci encore

[Seirios]

(c'est du programme MPSI, non ? )

Oui, c'est bien au programme de première année.