De l'aide sur les intégrales SVP

[invite2bb4efa6]

Bonjour,
Je fais des exercices sur les intégrales pendant les vacances.
Je travaille avec un livre qui contient les corrigés des exercices à la fin.
Toutefois, j'ai du mal à comprendre certains corrigés et j'aurai besoin de votre aide s'il vous plaît.




L'intitulé du premier est le suivant :
Soit F la primitive nulle en 0 de f(x)=(2x^1/2)/(1+x) R⁺
Soit g(z)=tan²z sur l'intervalle 0, pi/2

1) Caluler F°g(0)
2)Calculer (F°g)'(z)


Pour le 1) F°g=0

Pour le 2), j'avais utilisé (F°g)'=F'°g*g' et j'obtenais ((2tan](z))/(1+tan²(z)))*2tan(z)
Mais la correction multiplie encore ce résultat par (1+tan²(z)) , ce qui permet d'obtenir 4 tan²(z).
Je ne comprends pas d'où vient cet autre facteur???


Il y a aussi un deuxième exercice où :
f(x)=-((8x²+32x+2)/(4x²-1)²)
On montre que ça peut s'écrire sous la forme de f(x)=(3/(2x+1)²)-5/(2x-1)²


Puis on nous demande d'en déduire l'intégrale de f(x) avec 2 pour borne supérieure et 1 pour borne inférieure.

La correction marque :
-3/2[1/(2x+1)]₁²+5/2[1/(2t-1)]²₁

J'ai compris la démarche et en dérivant les primitives j'ai bien trouvé f(x) mais je ne comprends pas comment on arrive à ces primitives .

Merci de bien vouloir m'expliquer
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[inviteea028771]

Pour la première question, c'est parce que g'(z) = 2tan(z)(1+tan²(z)) et non 2tan(z)

En effet, g(z) = (h(z))², donc g'(z) = 2 h'(z) h(z)

Pour la deuxième question, il suffit d'écrire

1/(2x+1)² = (2x+1)^(-2)

Ça s'intègre ensuite très bien (en posant h(x) = 2x+1) :

1/2*h'(x)*(h(x))^(-2) => -1 * 1/2 * (h(x))^(-1)

[invite2bb4efa6]

Super !!!

Merci beaucoup, j'ai compris maintenant.