Il s’agit de montrer que le produit de quatre entiers successifs plus 1 peut s’écrire comme un carré d’un entier.
exemple : 1*2*3*4+1=25=5²
voilà ce que j'ai fait
Soit x le plus petit de ces 4 nombres, donc on doit montrer qu’il existe un entier naturel a tel que
x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = a²
mais je n'arrives pas à continuer je suis Bloqué ici, Svp si vous avez une idée aidez moi
Bonjour anouar437,
As-tu essayé de développer ça pour le factoriser sous forme d'un carré ?
Envoyé par anouar437
Hello,
Essaye de voir comment ça marche en testant sur 4 ou 5 essais :
1*2*3*4 = 5²-1 = (5-1)(5+1) = 4*6
2*3*4*5 = 11²-1 = (11-1)(11+1) = 10*12
tient on peut remarquer que 4=1*4 et 6=2*3
et 10=2*5 et 12=3*4 ....
Si j'étais toi j'essaierais avec 3*4*5*6, 4*5*6*7 et 5*6*7*8 en faisant les mêmes calculs qu'au-dessus ...
Tu aurais envie de dire quoi ?
Salut, Merci pour votre aide.
J’ai essayé de développer le produit mais je n’arrive pas à voir comment le factoriser sous forme d’un carré ce n’est pas évident pour moi.
envoyé par : photon57
"" Essaye de voir comment ça marche en testant sur 4 ou 5 essais :
1*2*3*4 = 5²-1 = (5-1)(5+1) = 4*6
2*3*4*5 = 11²-1 = (11-1)(11+1) = 10*12
tient on peut remarquer que 4=1*4 et 6=2*3
et 10=2*5 et 12=3*4 ....
Si j'étais toi j'essaierais avec 3*4*5*6, 4*5*6*7 et 5*6*7*8 en faisant les mêmes calculs qu'au-dessus ...""
C’est une bonne remarque
x(x+1)(x+2)(x+3)=a²-1=(a-1)(a+1)
Et d’après un nombre fini des essaies pour x=1 ou x=2 …
on remarque que a-1 = x(x+3) et a+1=(x+1)(x+2)
mais est ce qu’on peut la généraliser et dire pour toute x entier naturel on a
« a-1 = x(x+3) et a+1=(x+1)(x+2) »??
Je ne crois pas par ce que même si sa marche pour 100 cas sa montre pas
on doit la démontrer
Si c’est vrai on aura a=x²+3x+1 comme solution de l’exercice
Montrons que x(x+1)(x+2)(x+3) +1 = (x²+3x+1)²
On développe les deux on aura
x(x+1)(x+2)(x+3) +1 = x^4 +6x^3 +11x^2 +6x+1= (x²+3x+1)²
I.e. pour toute x entier naturel on a
x(x+1)(x+2)(x+3) +1 = (x²+3x+1)²
Vous croyez que c’est la bonne méthode ??
Hello,
un mot : bingo
