La légende du jeu d'échec

[invite01726e05]

Bonjours ,

Je sais que ce problème à déjà été poser mais moi ce n'est pas le même énnoncer alors voila


Une légende orientale raconte qu'un souverain des Indes (le roi Belkib) voulut récompenser le sage Sissa , inventeur du jeu d'échecs. Il lui demanda ce qu'il voulait : "Sire ,donnez-moi un grain de blé pour la 1ère case , 2 pour la 2ème ,4 pour la 3ème , et ainsi doublez le nombre de grains pour les cases successives ."
Le roi fut d'abord heureux.On ne lui demandait que quelques grains de blé!
Il compta donc :
1 grain pour la première case;
2 grains pour la deuxième case ;
2*2 grains pour la troisième case;;
2*2*2 grains pour la quatrième case , etc



1) A l'aide des puissances de 2 indiquer le nombre de grains de blé pour chacune des 8 premières cases,pour la 30ème cas et pour la dernière case du jeu soit la 64ème


2)Combien de grains de blé lui faudra-t-il en tout ? justifier la réponse

3) En moyenne 10 grains de blé pèsent 1 g
Quelle masse totale de blé faudrait-il au roi pour tenir sa promesse ?

4) La production de blé de son royaume étant de 500 000 quintaux par an combien d'années faudrait-il au roi pour tenir sa promesse ?

5) Un grain de blé est à peu près un cylindre de 6 mm de haut sur 2mm de diamètre . Calculer le volume total de la récompense en m3 . Si on étalait ce volume de blé sur toute la France , quelle hauteur aurait-il ?




S'il vous plait aidez moi c'est pour demain !!!
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[invite7f2ac864]

à chaque fois tu as 2^n-1 avec n la n-ième case.

ex:
n=1 <=> N = 1
n=2 <=> N = 2
n=3 <=> N = 4
...

tu as donc une suite géométrique: u_n+1 = 2u_n avec u₁=1.
Il faut alors utiliser la formule u_n = u_p.q^n-p .
Après il faut utiliser la formule de la somme pour obtenir N à la 64e case...

Pour le volume, cherche la formule du cylindre et rappelle-toi que 1m = 10^-3 mm donc 1m³ = 10^-9 mm³

[invite01726e05]

ok merci et pour la 4 je bloque je sais pas du tous

[danyvio]

ok merci et pour la 4 je bloque je sais pas du tous

Une petite division.
rappel : 1 quintal = 100 kg

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7f2ac864]

1 quintal = 100 kilogrammes donc la production est de 500 000 q.an^-1 soit 5,000 00.10⁷ kg.an^-1 .

Si tu as par exemple tu as 100 000 000 de kg de riz, alors 100 000 000/50 000 000 = 2. Donc il faudra deux ans.

Tu divise la masse de riz par la masse de riz par an pour obtenir le nombre d'années.

[PA5CAL]

Bonjour

Pour la question 2), si tu ne l'as pas déjà fait en cours, il serait intéressant pour toi de démontrer l'identité remarquable :

soit sous sa forme développée :

puis de t'intéresser au cas où X=2.

Cela te permet de trouver assez directement le résultat à partir de la réponse à la question 1) .

[invite01726e05]

Je n'ai pas compris le cylindre

[invite01726e05]

merci a tous mais je bloque toujours sur la 2

[gerald_83]

Je n'ai pas compris le cylindre

Quand tu auras répondu à la 2 (nb de grains de riz), comme tu connais le volume d'un seul grain (c'est donné dans l'énoncé) tu pourras en déduire le volume total en supposant bien sûr qu'il n'y aura pas de vide entre chaque grain

[invite01726e05]

j'y n'y arrive vraiment pas aidez moi svp

[invite01726e05]

Je sais mais je n'y arrive vraiment pas du tous je suis nulle en maths

[invite01726e05]

1 quintal = 100 kilogrammes donc la production est de 500 000 q.an^-1 soit 5,000 00.10⁷ kg.an^-1 .

Si tu as par exemple tu as 100 000 000 de kg de riz, alors 100 000 000/50 000 000 = 2. Donc il faudra deux ans.

Tu divise la masse de riz par la masse de riz par an pour obtenir le nombre d'années.

oui mais quand je fait la division sa donne sa : 18 446 744 073 551 616 /50 000 000 =368934881,5

Sa fait combien du coup je me perd

[PA5CAL]

Il n'y a pas 18446744073709551616 mais 18446744073709551615 grains sur l'échiquier. Revois la formule que tu as utilisée au 2).


Ensuite, calcule la masse des 18446744073709551615 grains de riz en grammes (on sait que 10 grains font 1 g).

Puis, exprime cette masse en quintaux, afin de pouvoir faire la division par la production annuelle en quintaux (q.an^-1) pour donner le nombre d'années nécessaire pour produire la quantité de riz présente sur l'échiquier. Rappelle-toi qu'il est impératif de rapporter les grandeurs aux mêmes multiples ou sous-multiples d'une unité pour effectuer les calculs.

[invite7f2ac864]

pour la somme il faut utiliser Sn = u0.[(1-q^n-1)/(1-q)], Sn le nombre total de grains sur la case n.

Donc la masse est de Sn.10^-4 kg soit Sn.10^-6 q.

N_année = (Sn.10^-6) / 500 000.

[invite01726e05]

pour la somme il faut utiliser Sn = u0.[(1-q^n-1)/(1-q)], Sn le nombre total de grains sur la case n.

Donc la masse est de Sn.10^-4 kg soit Sn.10^-6 q.

N_année = (Sn.10^-6) / 500 000.

Je suis désolée je n'ai pas compris je suis en 4 ème et si mon professeur vois sa je pense qu'il va me pénaliser

[invite7f2ac864]

Tu n'as pas vu les suites ? Car sans cette formule, il faudrait faire 2⁰+2¹+2²+2³+...+2⁶³ et c'est très long, avec 0 la case 1, 1 la case 2, ... 63 pour la case 64.

Mais sinon avec la formule tu obtient: 9.22337...x10¹⁸ grains de riz.

d'où 18 millions d'année de récolte, en gros il ne pourra jamais.

[PA5CAL]

Mais sinon avec la formule tu obtient: 9.22337...x10¹⁸ grains de riz.

En fait non. Le double.

2⁰+2¹+2²+2³+...+2⁶²+2⁶³ = 2⁶⁴-1

(d'après la relation que j'ai donnée plus haut, et qui peut se démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence)

Donc ça fait 18446744073709551615 grains de riz, soit 1844674407370955161,5 grammes, ou 18446744073709,551615 quintaux, ce qui correspondrait à environ 36893488 années de production.


NB : Aujourd'hui, les calculatrices sont bien pratiques, parce qu'elles présentent un grand nombre de chiffres significatifs. Quand on m'avait posé le problème il y a près de trente-cinq ans, j'avais dû calculer le nombre exact de grains de riz à la main.

[danyvio]

Je suis désolée je n'ai pas compris je suis en 4 ème et si mon professeur vois sa je pense qu'il va me pénaliser

Sans faire de démonstration de haut niveau, tu peux remarquer qu'à chaque étape (= chaque case) le total est successivement :

1,3,7,15,31 etc. c'est à dire 2^{le numéro de case} -1
Donc quand tu auras alimenté la 64^ème case, il y aura en tout 2⁶⁴ - 1 grains de riz.
Ce n'est pas une démonstration, mais ça peut te guider...

[invitecb157f4c]

Bonjour

Pour la question 2), si tu ne l'as pas déjà fait en cours, il serait intéressant pour toi de démontrer l'identité remarquable :

soit sous sa forme développée :

puis de t'intéresser au cas où X=2.

Cela te permet de trouver assez directement le résultat à partir de la réponse à la question 1) .

Je ne comprend pas le formule appliqué ci-dessus, quelqu'un pourrait-il m'expliquer (je suis en seconde, je ne sais pas quand on voit ça).
Merci d'avance

[PA5CAL]

Si tu ne comprends la première notation, laisse tomber, et concentre-toi sur la seconde (celle sous la forme développée) qui lui est équivalente.

Pour rappel, on note Xⁿ la puissance nième de la valeur X, définie comme le produit de n valeurs X :



etc.

Par ailleurs on a les cas particuliers :




Pour en revenir à la formule, on trouve que :




etc.
Et d'une manière plus générale, pour n entier positif :

Il suffit de développer la partie à droite de l'égalité puis de la simplifier pour voir que c'est exact.


Dans ton cas particulier, c'est la valeur X=2 qui nous intéresse. On a alors :




...


Dans ces formules, tu dois identifier le calcul que tu effectues quand tu résous le problème :
. 1 grain sur la première case -> 1
+ 2 grains sur la deuxième case -> 2+1=3=2²-1
+ 2x2 grains sur la troisième case -> 2²+2+1=7=2³-1
+ 2x2x2 grains sur la quatrième case -> 2³+2²+2+1=15=2⁴-1
+ 2x2x2x2 grains sur la cinquième case -> 2⁴+2³+2²+2+1=31=2⁵-1
...
+ 2x2x...x2x2 (63 fois) grains sur la 64^ème case -> 2⁶³+2⁶²+...+2²+2+1= ? =2⁶⁴-1

[invitecb157f4c]

Ok, merci, mais si on pose ça, c'est bon?

puisqu'on double le nombre de grain à chaque case, donc on simplifie la fraction.
Enfin je profite de mes vacances pour m'avancer sur le programme, et wikipédia n'est pas très explicite, donc je peux poser des questions qui peuvent paraître simple, mais je n'ai pas vu ça

Merci d'avance

[PA5CAL]

mais si on pose ça, c'est bon?

puisqu'on double le nombre de grain à chaque case, donc on simplifie la fraction.

Non. Cela ne correspond pas au problème.

La quantité de grains qu'on ajoute sur une case n°k, ce n'est pas 2k (deux fois k), mais 2^k (deux élevé à la puissance k).

Sur la case correspondant à 3, on n'a pas 2x3 grains, mais 2x2x2 grains.

[invitecb157f4c]

D'accord, mais pourquoi -1 ? Quelle formule appliques-tu?

[PA5CAL]

D'accord, mais pourquoi -1 ? Quelle formule appliques-tu?

J'applique la première formule que j'ai donnée, et pour laquelle j'ai fourni des exemples un peu plus loin :


En effet, on a :


Tu peux aussi par exemple vérifier que 2x2x2+2x2+2+1=15 et que 2⁴–1=15

[invitecb157f4c]

D'accord, mais comment tu sais que tu dois mettre , sans le vérifier? C'est ça qui m'intrigue.
Et aussi, je n'ai pas encore vu ça, donc je ne connais pas les possibilités de calculs des sommes comme ça, je comprends donc les deux première étapes du calcul, mais après je ne comprend pas ce que tu fais. Pourrais-tu m'expliquer dans les détails les calculs?

Merci d'avance

[invitecb157f4c]

Pardon je me suis trompé, je voulais demander :"Comment tu sais que tu dois mettre "

[PA5CAL]

Je sais que je dois (ou plus exactement que je peux) utiliser cette formule parce que :
- elle fait partie des identités remarquables, lesquelles sont intéressantes à retenir pour résoudre rapidement un certain nombre de problèmes courants rencontrés en mathématiques (dont celui-ci, par exemple). Comme les autres identités remarquables, je la connais par coeur et je sais la repérer dans une expression afin de simplifier ou calculer rapidement cette dernière.
- elle contient un terme qui correspond au résultat du problème posé, à savoir :


Il n'y a plus qu'à identifier les valeurs dans la formule (X=2 et n=63) et faire le calcul pour avoir le résultat.

[PA5CAL]

Pour le détail du calcul :

• je développe le produit :

• j'intègre le produit par X à chacun des termes de la première somme (Xⁱ.X=Xⁱ⁺¹)
• je fais disparaître le produit par 1 de la seconde somme :

• j'extrais de la première somme le dernier terme, qui correspond à i=n-1, soit X^(n-1)+1=Xⁿ
• j'extrais de la seconde somme le premier terme, qui correspond à i=0, soit X⁰=1 :

• je modifie les indices de la première somme afin d'obtenir des éléments identiques à ceux de la seconde somme (Xⁱ), ce que je réalise en transformant Xⁱ⁺¹ | i=0...n-2 en Xⁱ | i=1...n-1 :

• les deux sommes étant identiques, leur différence s'annule et il reste :

[invite6cb94f78]

Bonjour,
Je vois le message seulement aujourd'hui donc je ne sais pas si c'est encore d'actualité
C'est une suite géométrique de 1er terme = 1, de raison = 2 et de 64 termes.
Donc le nombre sur la dernière case = 2 uissance 63 et le total = (2 puissance 64) - 1
le (- 1) peut être ignoré devant la grandeur du résultat
Donc somme = 2 puissance 64 = 1,845 10 puissance 19
Donc 18 450 000 000 000 000 000 soir 18,45 milliards de milliards de grains de blé
Si 10 grains de blé font 1 g on a 18 450 milliards de tonnes
J'en donne l'explication sur mon site de cours de math, reubrique "suites géométriques"
http://enseignants.vexin.free.fr/exemples_cours.htm
Cordialement

[gg0]

Je vois le message seulement aujourd'hui donc je ne sais pas si c'est encore d'actualité

Les messages du forum sont datés. Celui-ci a presque 2 ans !!!!!