Problème

[invite4d357217]

Bonsoir tout le monde alors je m'appelle Camilla et j'aurais besoin de votre aide pour mon devoir maison de maths que je dois rendre Vendredi 21 Décembre 2012.
Alors je l'ai commencé mais je voudrais savoir à ma place comment vous feriez. Voici l'énoncé:

"Un menuisier désire fabriquer un jouet pour l'anniversaire de son petit fils.
Il pense à lui construire un jeu de petits cubes en bois de 5 cm de côté que le petit devra assembler pour en faire un gros cube de côté 15 cm. Pour rendre le jeu plus attrayant, il doit peindre les faces des petits cubes de telle façon que le grand cube formé soit unicolore.

Combien de grands cubes de couleurs différentes peut-il obtenir au maximum et de quelle façon va-t-il s'y prendre?
Et s'il change d'avis et veut faire un gros cube de côté 20 cm.
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[Jeanpaul]

Sérieusement, Camilla, est-ce sérieux de poster à 19h43 en espérant avoir la réponse dans l'heure ? C'est un problème un peu subtil qui est basé sur les rôles symétriques joués par les couleurs.
Faire un cube de 2 couleurs est trivial, mais de 3 couleurs, disons R, J et V ?
Aux coins, il y a 3 fois la même couleur et il en faut 8.
Pour respecter la symétrie, il faut fournir :
4 cubes RRRJJV, 4 cubes RRRVVJ, 4 cubes VVVRRJ, 4 cubes VVVJJR, 4 cubes JJJRRV, 4 cubes JJJRVV et, pour compléter, 2 cubes RRJJVV (le cube central ne sert à rien)
On voit ainsi qu'on a toujours 8 cubes de coins et que si on transforme le R en J, le J en V et le V en R, on retombe sur le même jeu.
Donc les coins sont OK, mais quid des cubes au milieu des arêtes ? On voit qu'il faut 12 cubes qui ont au moins JJ mais il n'y en a que 10, donc c'est impossible.