Non.non

[invite0a2a7398]

Bonjour,

J'ignore si ce qui suit est : 1) résoluble 2) niveau lycée, en tout cas c'est un problème assez compliqué dont j'aimerais connaître l’éventuelle solution. Voici donc une équation :



Je précise que je ne recherche que le rapport entre les deux inconnues. Et puisque l'origine du problème est amusante :
Une amie m'a demandé si je pensais que . Ce n'est qu’après développement que nous sommes arrivées au développement énoncé précédemment, et nous sommes désormais bloquées.

P.S. : Ce n'est qu'un divertissement
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[Seirios]

Bonjour,

En développant, on obtient , donc ce ne serait pas plutôt l'équation qui devrait t'intéresser ?

Une précision importante : Dans quoi cherches-tu à résoudre cette équation, dans ou dans ?

[invite0a2a7398]

Oui mais si on prend (non) comme un polynôme et que l'on développe le produit en multipliant chaque lettre du premier par chaque lettre du deuxième, il me semble que c'est ce que l'on obtient.
Nous cherchons à la résoudre dans si possible. La seule solution que nous avions trouvée était de prendre ou , mais cela ne donne pas de solution à l’équation elle-même puisque nous réduisons alors le nombre d'inconnues.

[Seirios]

Oui mais si on prend (non) comme un polynôme et que l'on développe le produit en multipliant chaque lettre du premier par chaque lettre du deuxième, il me semble que c'est ce que l'on obtient.

Ce développement correspond au cas (n+o+n), mais alors l'équation finale serait différente... Je ne vois vraiment pas pourquoi tu développes de cette manière (qui est fausse si l'on considère que n et o sont des nombres et que (non) est un produit).

Dans tous les cas, si , et , en utilisant les logarithmes, tu as .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a2a7398]

Je ne développais pas de manière mathématiquement logique, c’était pas le but, mais peu importe :-)

Je connais et comprends à peu près les formules que l'on peut utiliser mais ne les ai jamais utilisées puisque cela ne fait pas partie de mon programme (1ère S) et que vous venez de me les faire découvrir. Est-ce que vous accepteriez de développer votre raisonnement ?

[invite2c46a2cb]

Bonjour ! Je me permets d'intervenir pour tenter de t'expliquer (en gros) le logarithme néperien.
(le logarithme néperien donc) est simplement la fonction réciproque de (la fonction exponentielle, égale à sa dérivée), avec
En d'autres termes, on a
Cette fonction est définie sur , et est strictement croissante.

peut aussi être définie comme , c'est une intégrale (en gros, l'aire située entre la courbe représentative de la fonction , l'axe des abscisses ainsi que les droites d'équation x=1 et x=t, enfin ça tu le verras l'année prochaine).
Cela signifie par conséquent que

Parmi les "formules" associées au logarithme, on trouve (ça se démontre assez facilement avec la fonction exponentielle, tu verras, encore une fois, tout ça l'année prochaine !)
Cela permet entre autres de transformer une puissance en un produit, pour résoudre des équations plus facilement. C'est ce qu'à utilisé Seirios ici. (Qu'il m'arrête si je me suis trompé quelque part dans mon message..)

[Seirios]

Je me permets d'intervenir pour tenter de t'expliquer (en gros) le logarithme néperien.
(le logarithme néperien donc) est simplement la fonction réciproque de (la fonction exponentielle, égale à sa dérivée), avec

Je n'aime pas trop cette manière de voir l'exponentielle, parce qu'on pourrait se dire : l'exponentielle n'est qu'une fonction puissance avec un e choisi bizarrement. Seulement, la puissance n'est a priori pas définie, puisque l'on utilise justement l'exponentielle et le logarithme népérien pour cela ; par exemple, n'a pas de signification claire sans ces fonctions.

Je pense que le plus simple est de voir l'exponentielle comme l'unique fonction telle que et . À partir de cette définition, on peut montrer que l'exponentielle est une fonction strictement croissante à valeur dans telle que ; c'est à cause de cette dernière propriété que l'on note souvent avec . Mais j'insiste : ce n'est qu'une notation, cela n'a a priori aucun sens.

En cherchant la réciproque de l'exponentielle, on trouve la fonction logarithme népérien , vérifiant notamment la propriété .

C'est à partir de cela que l'on peut définir (avec ) par . Avec cette définition, on trouve bien que la notation se trouve bien être une exponentiation.

Les propriétés dont on a besoin ici sont : et pour .

[danyvio]

Les propriétés dont on a besoin ici sont : pour .

Sans doute petite faute de frappe car ln(ab)=ln(a)+ln(b)

[Seirios]

Oui, bien sûr, merci d'avoir relevé la coquille.

[invite2c46a2cb]

Je n'aime pas trop cette manière de voir l'exponentielle, parce qu'on pourrait se dire : l'exponentielle n'est qu'une fonction puissance avec un e choisi bizarrement. [...]
; c'est à cause de cette dernière propriété que l'on note souvent avec . Mais j'insiste : ce n'est qu'une notation, cela n'a a priori aucun sens.

C'est vrai qu'on commence d'abord par nous dire, en Terminale, que l'exponentielle est l'unique fonction telle que et
Mais à partir de ça, on arrive quand même bien au fait que l'exponentielle est une "fonction puissance avec un choisi bizarrement", non ? (Notamment avec la propriété , comme vous l'avez dit précédemment, et que LaTex met, automatiquement sous forme de puissance d'ailleurs)
Enfin après, je sais pas comment justifier qu'une fonction est une fonction puissance. Mais si on a cette notation, c'est bien que cette puissance est définie, non ?

[gg0]

Bonsoir Teddy-mension.

En fait, on définit de façon générale les puissances de réels strictement positifs par
(donc a>0)
Puis, on pose
et la définition des puissances donne

Cordialement.

NB : En général, on commence à utiliser l'exponentielle notée en puissance avant d'avoir défini les puissances quelconques, voire avant d'avoir utilisé ln.

[invite2c46a2cb]

Puis, on pose
et la définition des puissances donne

C'est quoi la "définition des puissances".. ?

NB : En général, on commence à utiliser l'exponentielle notée en puissance avant d'avoir défini les puissances quelconques, voire avant d'avoir utilisé ln.

Oui, c'est comme ça que ça se passe en Terminale. ^^

[gg0]

C'est quoi la "définition des puissances".. ?

Ben ... elle était immédiatement au dessus : "..on définit de façon générale les puissances ..."
Il suffit d'appliquer à e^x.

[invite2c46a2cb]

Ah mais oui d'accord, désolé. ^^'
En fait, pour , on a juste remplacé par et par ..
Et pour , on remplace juste par et par , si j'ai bien compris ?

[gg0]

Non !

e=exp(1) est une convention(*). Puis on calcule e^x avec la définition.

Cordialement.

(*) Il y en a d'autres, qui reviennent au même. par exemple, quand on commençait par définir ln, e était le nombre dont le ln est 1.

[invite2c46a2cb]

D'accord, je vois.. Mais pourquoi ne peut-on pas trouver ça juste en remplaçant ? C'est parce qu'on est pas "censé savoir" que et sont deux fonctions réciproques ?
Sinon, à quoi nous sert cette convention dans l'exemple ? Et du coup, qu'entendez-vous par "on calcule avec la définition" ? (J'ai l'impression d'être bête, sérieusement !)
*Désolé de tourner cette discussion pour mon propre interêt*

[Seirios]

On définit le nombre comme la valeur prise par la fonction exponentielle en ; on définit également l'exponentiation par . Donc par définition de l'exponentiation, .

Ici, on fait la distinction entre , qui est le nombre élevé à la puissance , et qui est la valeur prise par la fonction exponentielle au point . En pratique, les deux expressions sont les mêmes, mais conceptuellement, ce sont deux choses différentes.

[invite2c46a2cb]

Je vois je vois.. Donc c'était bien ça, il fallait juste "remplacer", et le fait de donner permettait de "simplifier" par .
En tout cas merci à vous !

[invite0a2a7398]

Je vous remercie tous, j'ai fini par comprendre :-)