Pavage de la surface d'une sphère par une forme identique plate?

[invitec9c0a685]

Bonjour,
je parlais de géode ces jours derniers avec mon père et une discussion est partie sur le fait que je lui disais qu'il était impossible de paver la totalité de la surface d'une sphère en collant le même élément géométrique unique de manière à ce que les bords soient tous jointifs...
Comme il est plutôt têtu, je pense lui avoir démontré que ce n'était pas possible avec des triangles équilatéraux, mais je n'ai pas su trouver l'argumentaire pour faire la même chose avec n'importe quelle forme...
Avez vous déjà entendu parler de ce problème? et ne pourrait il pas se ramener à une autre démonstration connue avec la sphère ou le cercle?
Merci de votre attention?
-----

[Médiat]

Bonsoir,

Telle que vous posez la question dans le texte, deux 1/2 sphères répondent à la question.

Telle que vous la posez dans le titre, c'est trivialement impossible une sphère n'étant pas plate, même localement.

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous à mon avis pour ce qui est de pavage d'une surface sphère à 3D en la réduisant sur un plans c'est pas possible de le faire avec des triangles équilatéraux ou même avec d'autre figure géométrique car toujours reste une petite déformation qui cause l’irrégularité des figures unité à utiliser cela est applicable à toutes formes géométriques de la même dimension c-a-d 3D pour ne pas entrer beaucoup dans les détaille lires ce liens Pavage des surfaces 3D bonne lecture .

Cordialement

Edit: croisement avec Médiat bonne année 2014.

[invitec9c0a685]

Bonsoir,

Telle que vous posez la question dans le texte, deux 1/2 sphères répondent à la question.

Telle que vous la posez dans le titre, c'est trivialement impossible une sphère n'étant pas plate, même localement.

Bonsoir, merci pour votre réponse...
Le cas des deux demies sphères est effectivement intéressant...
Même si effectivement il n'était pas celui que j'attendais...La seconde réponse trivialement impossible par contre me déçois car apparemment ce n'est pas trivial au moins pour mon papa, d'autant plus qu'une géode comme ci-dessous donne l' impression qu'il est possible de paver la sphère avec un élément identique...
http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9...m%C3%A9trie%29

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Les images dans vos liens ne sont pas des pavages de la sphère, puisque chaque triangle ou chaque hexagone est plan, et donc ne repose pas sur la sphère.

Il n'est pas impossible que votre question soit en fait d'inscrire un polyèdre régulier dans une sphère, si c'est bien le cas, il y a 5 solutions convexes connues depuis 2400 ans (on les appelle, les solides platoniciens (Platon les a utilisés)).

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous , oui Médiat à raison comme vous pouvez le lire sur ce lien Icosaèdre tronqué 3 ièm paragraphe intitulé "Applications" y'a cette phrase "Un ballon de football comprend le même motif de pentagones réguliers et d'hexagones réguliers, mais est plus sphérique en raison de la pression du gonflage et de l'élasticité de la balle".

Cordialement

[invitec9c0a685]

Bonjour,

Les images dans vos liens ne sont pas des pavages de la sphère, puisque chaque triangle ou chaque hexagone est plan, et donc ne repose pas sur la sphère.

Il n'est pas impossible que votre question soit en fait d'inscrire un polyèdre régulier dans une sphère, si c'est bien le cas, il y a 5 solutions convexes connues depuis 2400 ans (on les appelle, les solides platoniciens (Platon les a utilisés)).

Bonjour,
tout à fait, les solides platoniciens sont effectivement des solutions à mon problème... je pense aussi que le découpage d'une demie sphère en n partie égales à partir du pôle sont une réponse à mon problème et donc à la limite une sorte de triangle rectangle sur 2 cotés avec un 3ième coté en arccosinus

[Amanuensis]

Même si effectivement il n'était pas celui que j'attendais...La seconde réponse trivialement impossible par contre me déçois car apparemment ce n'est pas trivial au moins pour mon papa

Normal. Vous n'avez pas posé la contrainte que l'élément géométrique soit plat.

La notion de polygone (de triangle par exemple) existe en géométrie sphérique, et on peut paver la sphère avec 4, 8 ou 20 triangles (sphériques) équilatéraux. Paver avec des polygones (sphériques) réguliers est la même question que l'inscription d'un polyèdre régulier convexe dans la sphère, mais en termes de pavage par des éléments géométriques identiques, des polygones sphériques réguliers.

Il y a bien plus de 5 solutions (une infinité...) pour des éléments polygonaux (sphériques) identiques non nécessairement réguliers (par exemple on peut paver la sphère avec 120 triangles sphériques tous identiques en symétrie icosaédrique).

[Médiat]

On peut trivialement paver la sphères avec 2n triangles sphériques identiques (pour n > 2, pour éviter les arguties sur les triangles dégénérés) et ce d'un nombre non dénombrables de façons pour chaque n.

[Amanuensis]

Il y a bien plus de 5 solutions (une infinité...)

Juste pour mentionner que quand je précise "une infinité", c'est à une symétrie (une isométrie) de la sphère près. À l'instar de 5 solutions par des polygones réguliers d'au moins trois côtés. [Il y a une solution triviale pour paver par n polygones réguliers identiques de deux côtés, pour tout n>1 ; le cas n=1 demande précaution!]

Je ne vois pas comment on peut avoir une infinité non dénombrable de pavages si on considère identiques deux pavages images l'un de l'autre par une symétrie de la sphère.

[Médiat]

Il suffit de couper chaque 1/2-sphère en n triangles sphériques chacune et de faire tourner une 1/2 sphère par rapport à l'autre d'un angle

[Amanuensis]

Effectivement. J'ai trop tendance à voir en terme de groupes de symétrie, or à n donné c'est un unique groupe de symétrie si alpha n'est pas 0 ou pi/n (mod 2pi/n)...

[inviteb942f830]

Bonjour,

Ma réponse est un peu tardive ... En fait, je réfléchissais au même problème pour un programme informatique.

Qu'en est-il si l'on prend un polyèdre régulier, qu'on place son centre de gravité au centre de la sphère et qu'on le projette depuis ce centre de gravité sur la sphère ? N'a-t-on pas un pavage régulier de la sphère ? En existe t-il d'autres ?

Si je prends un cube et que je fais les opérations précédentes, j'ai un pavage régulier.

En revanche, la forme ne peut pas être plate comme l'indique le titre ... Localement, la sphère a un rayon de courbure non nul donc il ne sera pas possible de "recoller" une surface plate sur la sphère (problème des cartes).

[invite82078308]

tu peux prendre aussi un découpage du type de celui que forment les fuseaux horaires sur la terre, éventuellement en les coupants en deux au niveau de l'équateur.
On peut envisager, à partir d'un découpage donné par un polyèdre de déformer les contours des pièces pour faire un pavage comparable a ceux que l'artiste M.C. Escher avait réalisé pour le plan ou le plan hyperbolique.
Pavages d'Escher selon Google

[invite82078308]

Il faut aussi considérer les pavages obtenus à partir de solides de Catalan , qui sont des polyèdres formés de faces identiques sans être des polyèdres réguliers.
Avec ça, je crois qu'on a fait le tour.

[inviteb6b93040]

Bonsoir,

J'ai fait un programme pour avoir des triangles équilatéraux sphérique de 0,44 m de coté qui pavent une sphère de 14 mètre de rayon écrit en DXF
Mais ça ne tombe pas juste
Je fait un cercle vertical avec des arc de 0,44 m
puis des cercles horizontaux espacé de la hauteur du triangle qui passent par chaque point de du cercle

Function dxfDouble(v)
    dxfDouble = Replace(v, ",", ".")
End Function
Function EcrPoly(dc, de, dap, h, l, zp)
    a = dc * pi / 180
    xp = h * Cos(a)
    yp = 0
    Print #1, "0"
    Print #1, "POLYLINE"
    Print #1, "8"
    Print #1, "0"
    Print #1, "70"
    Print #1, "1"
    np = Round(2 * pi * xp / l)
    dap = 360 / np
    For dz = de To 360 Step dap
        a = dz * pi / 180
        x = xp * Cos(a)
        y = xp * Sin(a)
        z = zp
        Print #1, "0"
        Print #1, "VERTEX"
        Print #1, "10"
        Print #1, dxfDouble(x)
        Print #1, "20"
        Print #1, dxfDouble(y)
        Print #1, "30"
        Print #1, dxfDouble(z)
    Next dz
    Print #1, "0"
    Print #1, "SEQEND"
End Function
Function GéodeToDxf(a, h, l, rap)
    a = a * rap
    h = h * rap
    l = l * rap
    lh = Sqr(l ^ 2 - (l / 2) ^ 2)
    np = Round(2 * pi * h / lh)
    da = 360 / np
    ch = "D:\MSVCNT\pianoVB\"
    Open ch & "GéodeV" & a & "_0" & h & "_" & l & ".dxf" For Output As 1
    Print #1, "0"
    Print #1, "SECTION"
    Print #1, "2"
    Print #1, "ENTITIES"
    dap = da
    de = 0
    For dc = 0 To 180 Step da
        a = dc * pi / 180
        zp = h * Sin(a)
        r = EcrPoly(dc, de, dap, h, l, zp)
        If zp > 0 Then
            r = EcrPoly(dc, de, dap, h, l, -zp)
        End If
        If de = 0 Then
            de = dap / 2
        Else
            de = 0
        End If
    Next dc
    Print #1, "0"
    Print #1, "ENDSEC"
    Print #1, "0"
    Print #1, "EOF"
    Close #1
End Function
Function dxf()
    na1 = GéodeToDxf(38, 14, 0.44, 1)
End Function

[inviteb6b93040]

le problème c'est que si je fait un arrondi np = Round(2 * pi * xp / l)
Les coté ne sont pas tous identiques
et sinon la fin des cercles donne des triangles pas équilatéraux
En 2D avec les points

Géode2d.png

La voilà en 3D
Géode.png

[inviteb6b93040]

Je fait un cercle vertical avec des arc de 0,44 m

erreur dans cette phrase, avec des arcs de la hauteur du triangle équilatéral de l=0,44 m de coté
lh = Sqr(l ^ 2 - (l / 2) ^ 2)

On peut trivialement paver la sphères avec 2n triangles sphériques identiques (pour n > 2, pour éviter les arguties sur les triangles dégénérés) et ce d'un nombre non dénombrables de façons pour chaque n.

Le nombre de points sur mes cercles est de 29404 et c'est aussi le nombre d'arrêtes
le nombre de triangles étant le double du nombre d'arrête j'ai bien 2n triangles mais ils ne sont pas identiques
Pourquoi ?

J'ai fait quelques modif pour simplifier et avoir le nombre de points
Il y avais un bug car je décalais les sommets sur le cercle suivant avec le pas angulaire du précédent

Function EcrPoly(de, l, xp, zp)
    yp = 0
    Print #1, "0"
    Print #1, "POLYLINE"
    Print #1, "8"
    Print #1, "0"
    Print #1, "70"
    Print #1, "1"
    np = Abs(Round(2 * pi * xp / l))
    dap = 360 / np
    If zp > 0 Then
        If de = 0 Then
            de = dap / 2
        Else
            de = 0
        End If
    End If
    For dz = de To 360 Step dap
        a = dz * pi / 180
        x = xp * Cos(a)
        y = xp * Sin(a)
        Print #1, "0"
        Print #1, "VERTEX"
        Print #1, "10"
        Print #1, dxfDouble(x)
        Print #1, "20"
        Print #1, dxfDouble(y)
        Print #1, "30"
        Print #1, dxfDouble(zp)
    Next dz
    Print #1, "0"
    Print #1, "SEQEND"
    EcrPoly = np
End Function

Function GéodeToDxf(a, h, l, rap)
    Dim npt As Long
    npt = 0
    a = a * rap
    h = h * rap
    l = l * rap
    lh = Sqr(l ^ 2 - (l / 2) ^ 2)
    np = Round(2 * pi * h / lh)
    da = 360 / np
    ch = "D:\MSVCNT\pianoVB\"
    Open ch & "GéodeV" & a & "_0" & h & "_" & l & ".dxf" For Output As 1
    Print #1, "0"
    Print #1, "SECTION"
    Print #1, "2"
    Print #1, "ENTITIES"
    dap = da
    de = 0
    For dc = 0 To 180 Step da
        a = dc * pi / 180
        zp = h * Sin(a)
        xp = h * Cos(a)
        npt = npt + EcrPoly(de, l, xp, zp)
        If zp > 0 Then
            npt = npt + EcrPoly(de, l, xp, -zp)
        End If
    Next dc
    Print #1, "0"
    Print #1, "ENDSEC"
    Print #1, "0"
    Print #1, "EOF"
    Close #1
    GéodeToDxf = npt
End Function

Function dxf()
    nbf = GéodeToDxf(38, 14, 0.44, 10)
End Function

[inviteb6b93040]

Il y a un drôle de bug sur np = Abs(Round(2 * pi * xp / l))
avec la valeur absolu mon décalage ne marchait plus
puis je me suis aperçu que la boucle For dc = 0 To 180 Step da sur le cercle vertical généré 2 fois les même cercles horizontaux
donc de 0° à 90° suffit
J'ai aussi ajouté des cercles sur les points des polylignes qui sont ceux des triangles sphériques
Et cette image c'est est une sphère de 32 avec des triangles de 4 de coté
ça marche mieux avec des multiples de 2

Function EcrCercle(r, z)
    Print #1, "0"
    Print #1, "CIRCLE"
    Print #1, "8"
    Print #1, "cercle"
    Print #1, "10"
    Print #1, 0
    Print #1, "20"
    Print #1, 0
    Print #1, "30"
    Print #1, dxfDouble(z)
    Print #1, "40"
    Print #1, dxfDouble(r)
End Function
Function EcrPoly(de, dap, l, xp, zp)
    r = EcrCercle(xp, zp)
...
Function dxf()
    nbf = GéodeToDxf(32, 4, 1)
End Function

[inviteb6b93040]

Bonjour,

ça ne marche pas car il y a une contrainte imposé par l'algorithme qui met tout les sommés des triangles sur des cercles parallèles.
Si on part des contraintes seule, trouver un ensemble de points équidistants sur une sphère, ça devrait marcher puisque Média le dit
Points d'un sphère de rayon r
x²+y²+z²=r²
équidistants
l=corde d'un coté d'un triangle sphérique
(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)²=l²
2 triangles partages un segment
(x1-x3)²+(y1-y3)²+(z1-z3)²=l²
(x2-x3)²+(y2-y3)²+(z2-z3)²=l²
On part d'un segment connu
n = 2 * pi * r / l
da = 2 * pi / n
x1 = r * Sin(0)
y1 = r * Cos(0)
x2 = r * Sin(da)
y2 = r * Cos(da)
Alors on a 2 équations et 3 inconnus (x3,y3,z3)
qui devraient donner 2 solutions !

Est ce la bonne méthode ?
Comment trouver les solutions ?

[inviteb6b93040]

J'ai oublié la contrainte sphère pour (x3,y3,z3)
il y a donc 3 équations et 3 inconnus mais pour les résoudre c'est coton
x3²+y3²+z3²=r²
(x1-x3)²+(y1-y3)²+(z1-z3)²=l²
(x2-x3)²+(y2-y3)²+(z2-z3)²=l²

[Médiat]

Bonjour,

Le flood ça suffit : on ferme !

Médiat, pour la modération