Toutous à gogo

[invitef12a64c9]

Bonsoir
Voici une énigme que j'ai trouvé sur un livre
Quatre chiens sont disposés aux quatre coins d'une grande pièce carrée de coté a=10m
Guidés par leur flair, ils décident d'aller se sniffer les fesses de plus près, et pour ce faire
ils partent au même instant et à la même vitesse, et chacun se dirige constamment en direction de son voisin de gauche.

Dans ces conditions, ils vont évidemment se rencontrer au centre du carré.
Quelle sera à la fin la distance parcourue par chacun?

Le résultat sera entré en fonction de a (expression littérale) et avec les règles de parenthèses respectées.

Pouvez-vous m'aider ?
Merci
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[invite19431173]

Salut !

Qu'as-tu fait, toi, pour le moment ?

[invitef12a64c9]

Je viens de retrouver ce problème donné avec des mouches :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1952
Puis en cherchant un peu (fallait trouver les bons mots-clé), j'ai trouvé avec les chiens :
http://debart.pagesperso-orange.fr/geop … tml#carres
mais je ni comprends rien

[invited3a27037]

bonjour,

Du fait de la symétrie du problème, on peut affirmer qu'à chaque instant les 4 chiens seront toujours au sommet d'un carré. Le vecteur vitesse d'un chien fait donc toujours un angle de 45° par rapport à la diagonale du carré.

On se place en coordonnée polaire (r, ). Soient V la vitesse des chiens et 'a' le coté du carré initial.

Vitesse radiale:
donc

On en déduit le temps pour que les 3 chiens atteignent le centre:

Vitesse orthoradiale:
or
donc
donc:

La courbe décrite par un chien s'enroule infiniment autour du centre O mais le chien la décrit en en temps fini (déjà déterminé et égal à a/V)

Pour avoir la longueur de la courbe, il y a un calcul d'intégral à faire. A ce stade on ne peut pas dire si la longueur est finie ou pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited3a27037]

Ma conclusion est idiote, puisqu'on connait le temps d'arrivée au centre et la vitesse des chiens, la longueur de la courbe se détermine par le simple produit des deux.


En revanche, j'ai un doute sur ma relation donnant \frac{d\theta}{dt} car r n'est pas constant. Je regarde

[invited3a27037]

C'est correct sauf le 45° dans l'expression de qu'il faut remplacer par
Dans le cas général d'une courbe en polaire paramétrée, c'est à dire que la position d'un point est défini par
, on a
et on trouve bien avec les équations données pour et

[invited3a27037]

Tracé des trajectoires suivies par les chiens (a=1 m, V=1 m/s)
chiens.jpg