DM 2nde Vecteurs et fonctions

[invite602f2283]

Bonjour, je suis nouveau dans le forum donc désolé si je poste au mauvais endroit.
J'ai un dm à rendre pour jeudi en maths mais je bloque complétement à 1 des exercices
Voici l'énoncé :
ABC est un triangle
1- construire le point E : AE = AB + AC. Montrer que (AE) et (BC) ont le même milieu
2- Placer le point F : AF = BC
3. Montrer que C est le milieu de (EF)
4. Les droites (AE) et (BF) se coupent en K : les droites (CK) et (AB) se coupent en J. Montrer que J est le milieu de (AB)

Donc j'ai réussis tous ce qui est la construction, ce que je n'arrive pas c'est Montrer que (AE) et (BC) ont le même milieu, montrer que C est le milieu de (EF) et montrer que J est le milieu de (AB)
J'ai l'impression que c'est qq chose de très simple mais je n'y arrive pas tout de meme, c'est pourquoi j'aimerais votre aide svp
Merci d'avance
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[Rizmoth]

Bonjour Undead.

Question 1 :
Tu sais que AE = AB + AC.
En outre, la relation de Chasles te donne deux autres relations :
AE = AB + AE
AE = AC + CE
En t'aidant convenablement de ces formules, tu pourras montrer que AB = CE et que AC = BE.
Ces deux égalités implique quelque chose sur le quadrilatère ABEC...Il s'agit d'un parallélogramme. Or, on sait que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Donc, [AF] et [BC] ont le même milieu.

Attention, quand tu écris (AE) et (BC), tu nommes des droites. Or des droites n'ont pas de milieu (elles sont infinies). Les segments oui, en revanche.

[invite602f2283]

Bonjour, pour le moment j'ai mis :
Je sais que AE = AB + BC (selon l'énoncé)
Donc AE = AB +BE (Relation de Chasles)
Donc AE = AC + CE ( Relation de Chasles )
Donc BE = AC et AB = CE
après je pense réussir mais je ne suis pas sur d'avoir bien expliquer la chose malgré que moi j'ai compris

[Rizmoth]

Bonsoir,
Le raisonnement n'est peut-être pas écrit de manière très claire, mais il semble que tu aies compris.

D'après l'énoncé, AE = AB + AC (Relation 1)
On va montrer que AB = CE et que AC = BE (parce qu'on sent, intuitivement que ABEC est un parallélogramme...)

D'après la relation de Chasles :
D'une part, AE = AB + BE (Relation 2)
D'autre part AE = AC + CE (Relation 3)

En combinant :
Avec (1) et (2), on obtient BE = AC.
Avec (1) et (3), on obtient CE = AB.

Ainsi, ABEC est un parallélogramme. Donc, ses diagonales AC et AE se coupent en leur milieu. Ce qui répond à la question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite602f2283]

Okey merci donc je me suis un peu avancé et j'ai mis pour la 3 :
3.On sait que ACEB est un parallélogramme donc AB = CE
De plus, on sait que AF et BC sont colinéaires donc AFCB est un parallélogramme donc AB = FC
Donc FC = CE
Ces vecteurs sont colinéaires donc les points F,C et E sont alignés
Ils ont la meme norme donc C est le milieu de FC

Mais le vrai problème c'est la 4 ou je n'y arrive pas du tout :/