DM de maths

[dufov]

Bonjour , je dois faire un DM en maths mais je suis bloqué sur un exercice j'ai déjà trouvé des réponses mais je sais pas c'est bon et je suis bloqué pour les questions 3) et 4) , pouvez vous m'aider svp ? le voici:

Jean-Marc joue de la guitare mais il exaspère ses voisins.Ils lui ont demandé d'installer des plaques d'isolation phonique dans son appartement. En plus ces plaques isolent aussi thermiquement et vont faire baisser la consommation annuelle de chauffage de Jean-Marc.
Chaque plaque est composée de deux plaques de placo. Chacune de ces plaques a une épaisseur de 13mm et permet de faire diminuer l'intensité du bruit de 3 décibels.
Entre ces deux plaques de placo, on insère des couches de mousse isolante, chacune d'épaisseur 20mm

A chaque fois qu'on ajoute une couche cela permet:
-de diminuer de 9 décibels l'intensité du bruit
-de réduire de 2,5% la consommation annuelle de chauffage.

On ne peut pas avoir plus de 10 couches intermédiaires.

Avant l'installation de cette isolation , l'intensité du bruit dans l'appartement voisin est 110 décibels et la consommation annuelle de chauffage est de 750€

On modélise cette situation à l'aide de deux suites (U_n) et (V_n). Si on note n le nombre de couches isolantes, on pose:
-U_n : l'intensité du bruit en décibels dans l'appartement voisin
-V_n : la consommation annuelle de chauffage en euros

Remarque:Il ne peut y avoir deux plaques de placo sans au moins une couche isolante entre les deux.

1)a)Quelle est la consommation annuelle de chauffage et l'intensité du bruit dans l'appartement voisin , si on insère une seul couche de mousse isolante?
b)Mêmes questions si on insère deux couches de mousses isolante.
2)a)Déterminer U₁ et V₁.
b)Démontrer que (U_n) est arithmétique. On donnera son premier termes et sa raison.
c)Démontrer que (V) est géométrique. On donnera son premier termes et sa raison.
3)En utilisant les questions précédentes,montrer que Un=95-9×(n-1),pour tout n∈N*
b)De même, montrer que V_n=731.25×0.975^n-1, pour tout n∈N*.
4)Les voisins pourront se reposer si l'intensité du bruit est de 40 décibels.
a)Déterminer le nombre minimum N de couches de mousses isolante nécessaires pour obtenir ce résultat.
b)Pour ce nombre N de couches , quelle sera la consommation annuelle de chauffage de Jean-Marc ?
c)Quel est le pourcentage de diminution de sa consommation de chauffage ?


Mes réponses:
1)a) 750-18.75=731.25€ consommation annuelle chauffage avec une couche.

110-9=101 décibels avec une couche
110-9-6=95 décibels avec une couche

b) 110-18-12=80 décibels avec 2 couches
750-37.5=712.5€ avec 2 couches

2)a) U₁=95 décibels
V₁=731.25€
(trouver grâce aux calculs précédents)

b) U_n=110-(6+9n)=104-9n
Pour tout n∈N,
U_n+1-U_n=104-9(n+1)-(104-9n)
=104-9n-9-104+9n
=-9 ne dépend pas de n
Donc la suite est arithmétique de raison r=-9 et de 1er terme U1=95

c)Pour tout n ∈ N
V_n+1=V_n×0.025
=V_n(1-0.025)
=0.975

Donc la suite (V_n) est géométrique de raison q=0.975 et de 1er terme V1=731.25



et pour la suite je suis bloqué :/

Merci d'avance pour vos éventuelle réponses.
Bonne journée.
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[Rizmoth]

Bonsoir.

3)En utilisant les questions précédentes,montrer que Un=95-9×(n-1),pour tout n∈N*

Une suite arithmétique de raison r et de premier terme a une formule explicite très simple : pour tout n∈N*, . Il suffit de l'appliquer dans le cas présent.

b)De même, montrer que Vn=731.25×0.975n-1, pour tout n∈N*.

De même, une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 a une formule explicite très simple : pour tout n∈N*,

Ces formules explicites sont d'usage quasi-systématique, et à savoir par cœur (mais elles sont remarquablement faciles à retrouver).

4)Les voisins pourront se reposer si l'intensité du bruit est de 40 décibels.
a)Déterminer le nombre minimum N de couches de mousses isolante nécessaires pour obtenir ce résultat.

Question classique : recherche d'un seuil. Il faut juste bien lire la question est se dire que "les voisins se reposent si l'intensité est inférieure ou égale à 40 dB". Et traduire ça sous la forme d'une inéquation portant sur la suite (Un) et dont l'inconnue, que l'on cherche à déterminer, est le rang n...

b)Pour ce nombre N de couches , quelle sera la consommation annuelle de chauffage de Jean-Marc ?

c)Quel est le pourcentage de diminution de sa consommation de chauffage ?

Là, c'est simplement une détermination des valeurs de termes dont on connait le rang (il suffit de remplacer n...)

Cordialement,
Rizmoth.

[dufov]

Bonjour voila ce que j'ai fais
3)a) pour tout n appartient a N*
Un=U1+(n-1)*r
=95+(n-1)*(-9)
=95-9(n-1)

B)pour tout n appartient a N*
Vn=V1*q^(n-1)
=731,25*0,975^(n-1)

4)Un≤40
95-9(n-1)≤40
-9(n-1)≤40-95
-9(n-1)≤-55
-9n+9≤-55
-9n≤-64
n≤(ou≥ je sais pas) 64/9
n≤(ou≥)7,1.. donc 8

B)Vn=731.25*0,975^(n-1)
=731,25*0,975^(8-1)
=612,50
La consommation annuelle de chauffage sera de 612,50€

C)612,50*100/100 =~ 81,7%

Est ce que cest bon ?
Merci

[gg0]

Bonjour.

"n≤(ou≥ je sais pas) " Il faut savoir ....
Quel calcul fais-tu (éventuellement plusieurs) en utilisant des règles dont tu es sûr ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[dufov]

Je divise par -9 des deux cotes pour isoler n mais je sais plus si vu que je divise par un nombre négatif cest ≤ ou ≥

[Rizmoth]

mais je sais plus si vu que je divise par un nombre négatif

Et bien, je ne sais pas, essaie sur un exemple, tiens...

3 est le plus petit que 6, t'es d'accord ?
Et que peux-tu dire de -3 et -6 ?

Pas convaincu que c'est toujours pareil ?
Alors tu peux aussi faire un petit schéma de la fonction f : x -> -x. Elle est décroissante, n'est-ce pas ? Ce qui veut dire que si tu prends 2 réels a et b tels que a < b, alors f(a) ... f(b), et donc que -a ... -b [je te laisse trouver le signe]

Au passage, les "règles" de changement de signe ne sont pas des vraiment des "règles" : c'est simplement...de la logique ! Une fois qu'on l'a comprise, il est impossible de se tromper...

Cordialement,
Rizmoth.

[dufov]

Donc cest bien ≥ le signe alors