[TS] Intégration

invite9611804b · 31/03/2006, 13h17

Bonjour tout le monde! J'ai encore eu un DM de maths à faire, je l'ai commencé, mais il y a quelques questions où je coince et d'autres où je ne suis pas sûre. Je vais donc vous montrer tout ça, en espérant que vous pourrez me guider ou m'aider.
Voici l'énoncé :
On considère la suite $\text{[math]}$ , définie pour $\text{[math]}$ par l'intégrale $\text{[math]}$ .
1 - Calculer $\text{[math]}$
2 - a. Ecrire $\text{[math]}$ sous la forme $\text{[math]}$ où f est une fonction à déterminer et démontrer que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .
b. Conclure sur le sens de variation de la suite $\text{[math]}$
3 - a. A l'aide d'une intégration par parties de $\text{[math]}$ , démontrer que $\text{[math]}$
b. En déduire les valeurs exactes de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$
4 - a. Déterminer un encadrement pour $\text{[math]}$ de : $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ .
b. En déduire un encadrement de $\text{[math]}$ , puis que $\text{[math]}$
c. Quelle est la limite de $\text{[math]}$ ? Justifier

invite9611804b · 31/03/2006, 13h23

Alors j'ai fait la première question, j'ai essayé la deuxième, mais je n'y arrive pas, je ne parviens pas à simplifier f(x). Je reste avec $\text{[math]}$
Ensuite, je suppose qu'au petit b de cette question je dois trouver que la suite $\text{[math]}$ est décroissante puisque $\text{[math]}$
J'ai réussi à faire la question 3 (a et b)
Pour la 4, je ne comprend pas trop ce qui est demandé. Pour le a, voici mon encadrement $\text{[math]}$ mais je ne sais pas si c'est bien ça qu'on veut. Et je n'arrive pas à enchainer sur la suite...
Merci beaucoup d'avance pour votre aide!

**nissart7831** · 31/03/2006, 13h36

Bonjour,

pour la 2.a., une intégration par parties devrait convenir.

invite9611804b · 31/03/2006, 13h49

Je ne pense pas qu'il faut que je fasse avec une intégration par partie pour le 2.a. car après cette question on me demande justement de faire une intégartion par partie de $\text{[math]}$ Mais j'ai quand même essayé, mais j'obtiens $\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**GuYem** · 31/03/2006, 14h07

Salut, en fait ce qu'on te demande de faire dans la 2a, c'est de montrer que la différence I_n+1 - I_n ne dépend plus de n.

**Jeanpaul** · 31/03/2006, 14h08

On ne te demande pas de calculer la valeur de I ni d'intégrer I(n+1) - I(n) mais simplement de calculer I(n+1) en intégrant par parties en prenant x dx = dv...
A toi la suite

**GuYem** · 31/03/2006, 14h08

Bétise, en fait ça dépend encore de n, mais c'est caché dans la fonction f, la notation est mal choisie.

En fait il n'y à rien à faire qu'une petite factorisation sous l'intégrale pour trouver la fonction f.
Ensuite il suffit de se rendre compte que f est négative pour montrer que I l'est.

invite9611804b · 31/03/2006, 15h42

Envoyé par GuYem

En fait il n'y à rien à faire qu'une petite factorisation sous l'intégrale pour trouver la fonction f.

Oui, j'ai déjà essayé mais je ne vois pas par quoi simplifier.

[QUOTE]On ne te demande pas de calculer la valeur de I ni d'intégrer I(n+1) - I(n) mais simplement de calculer I(n+1) en intégrant par parties en prenant x dx = dv...[\QUOTE]
Je comprend pas trop

Je sais intégrer par partie mais je comprend pas : x dx = dv. Mais ici on ne me demande aucun calcul, juste d'écrire I en fonction de f(x). Du moins, c'est ce que j'ai compris

**nissart7831** · 31/03/2006, 16h16

Envoyé par Anelor4488

Oui, j'ai déjà essayé mais je ne vois pas par quoi simplifier.

GuYem t'a vraiment donné la solution.
Dans la factorisation que tu as faite, tu peux encore factoriser. Ce qui te permet de montrer simplement que la fonction est négative entre 1 et e donc que ton intégrale est négative. Ce qui est bien ce qu'on te demande par la suite.

invite9611804b · 31/03/2006, 16h25

Oui, je suis d'accord qu'il faut factoriser sous l'intégrale, mais je ne vois pas par quelle forme factoriser, j'ai ça :
$\text{[math]}$ Mais je ne reconnais pas de formes spécifiques aux logarithmes pr simplifier

**nissart7831** · 31/03/2006, 16h38

Envoyé par Anelor4488

Oui, je suis d'accord qu'il faut factoriser sous l'intégrale, mais je ne vois pas par quelle forme factoriser, j'ai ça :
$\text{[math]}$ Mais je ne reconnais pas de formes spécifiques aux logarithmes pr simplifier

Rien de compliqué, c'est une simplification toute simple.
C'est tellement visible que tu ne le vois pas.

$\text{[math]}$

Et c'est reparti ...

invite9611804b · 31/03/2006, 19h31

Oui, merci beaucoup! Je m'en suis rendue compte après...

Pour cette question c'est bon, il n'y a plus de problème, maintenant c'est pour la dernière, la 4.
J'ai fait un encadrement de $\text{[math]}$ , ce qui me donne : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
J'ai donc ensuite essayé d'en déduire un encadrement de $\text{[math]}$ mais je ne pense pas que ce soit ça car j'obtiens ça : $\text{[math]}$ Je pense avoir fait une erreur dès le début de l'encadrement mais je ne vois pas où...

**GuYem** · 31/03/2006, 19h34

Salut ton encadrement est bon mais ce n'est pas ce qu'on te demande de faire !
Quand tu calcules $\text{[math]}$ tu trouves :
$\text{[math]}$
C'est là la factorisation dont je parlais. La fonction f est alors celle qui apparait dans cette dernière intégrale, et il ne te faudra pas longtemps pour te rendre compte qu'elle est négative pour x entre 1 et e ; donc l'intégrale est également négative.

EDIT : excuse, je suis à la bourre dans le topic, ignore si tu as réussi la 2a

invite9611804b · 31/03/2006, 19h38

Oui voilà c'est ce que j'ai fait, mais merci beaucoup quand même!

**nissart7831** · 31/03/2006, 22h56

Envoyé par Anelor4488

J'ai fait un encadrement de $\text{[math]}$ , ce qui me donne : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
J'ai donc ensuite essayé d'en déduire un encadrement de $\text{[math]}$ mais je ne pense pas que ce soit ça car j'obtiens ça : $\text{[math]}$ Je pense avoir fait une erreur dès le début de l'encadrement mais je ne vois pas où...

Bonsoir,

C'est ça. Tu es sur la bonne voie.

Calcule les deux intégrales "bornantes" et tu obtiens un encadrement de I_n+1.

Ensuite avec la relation entre I_n+1 et I_n, tu peux en déduire un encadrement de I_n que tu dois raffiner par la suite pour obtenir l'encadrement demandé (grâce à une propriété analogue à la question 2a.)

Allez, tu y es presque.

invite9611804b · 01/04/2006, 13h06

Bonjour!
Alors j'ai calculé les intégrales bornantes, et je trouve : $\text{[math]}$ Mais je pense avoir fait une erreur (pourtant ma calculatrice me garantit que non...) car ensuite, en remplaçant $\text{[math]}$ par la relation que j'ai trouvé au début, j'obtiens $\text{[math]}$ Il y a juste ce petit "2e" qui me gène... Si quelqu'un voit mon erreur...

Merci

invite9611804b · 01/04/2006, 15h42

Personne ne peut m'aider?... S'il vous plait...

**nissart7831** · 01/04/2006, 16h01

Envoyé par Anelor4488

Bonjour!
Alors j'ai calculé les intégrales bornantes, et je trouve : $\text{[math]}$

Bonjour,

cet encadrement est juste mais celui que tu trouves sur $\text{[math]}$ est faux car quand tu déduis l'encadrement de $\text{[math]}$ à partir de celui de $\text{[math]}$ , tu as oublié qu'il y avait un signe - devant $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ).
En supprimant le -, il faut que tu renverses tes inégalités:
$\text{[math]}$ est équivalent à $\text{[math]}$

invite9611804b · 01/04/2006, 16h10

ah ouais, exact... Bon beh je m'éloigne encore plus du résultat final...

Maintenant j'ai $\text{[math]}$
J'ai tout faux!

**nissart7831** · 01/04/2006, 16h19

Pleure pas Anelor.

Pour le minorant, tu devrais avoir plutôt 2e-e² au numérateur. Tu as du faire une erreur de signe.
Mais comme je t'avais suggéré plus haut (en s'inspirant de la 2.a.), tu peux en fait trouver un meilleur minorant qui est 0 (2e-e² est négatif).
Quant au majorant, refais ton encadrement de In depuis le début (celui de In+1 est bon), il est faux. En fait tu as oublié un morceau, qui fait toute la différence.

invite9611804b · 01/04/2006, 16h37

Oh là là, je viens de le refaire et je trouve un truc encore plus incohérent, je vais écrire les étapes de ce que j'avais fait au début :
On a $\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$
D'où, $\text{[math]}$
Or, $\text{[math]}$
D'où, $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Donc voilà ce que j'ai fait, mais je n'arrive pas à trouver mon erreur...

**nissart7831** · 01/04/2006, 16h43

Envoyé par Anelor4488

D'où, $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Donc voilà ce que j'ai fait, mais je n'arrive pas à trouver mon erreur...

C'est pas compliqué,

quand tu enlèves $\text{[math]}$ dans le membre du milieu, il faut que tu fasses de même sur les deux membres externes, sinon l'encadrement est faux.

OK ?

**nissart7831** · 01/04/2006, 16h51

Tiens, du coup, je viens de m'apercevoir que j'avais fait une petite erreur de calcul sur le minorant de In, en l'ayant fait trop rapidement. Mais ne t'en fais pas, cela ne change rien à ce que je t'ai dit. Au contraire, cela simplifie la conclusion car on n'a pas besoin d'utiliser une analogue de la 2a.

invite9611804b · 01/04/2006, 16h55

Ah ok, je pensais qu'on pouvais passer un terme d'un membre à l'autre comme ça moi... Merci beaucoup, j'ai réussi à le faire! MERCI MERCI!

Sinon (je sais je suis très très embêtante (pour rester polie...)) j'ai un autre exercice à faire et il est assez dur aussi, mais bon je vais essayer de me débrouiller sans l'aide du forum, mais à la première question, on me demande de justifier la variation d'une fonction sans la calculer, sachant que cette fonction est l'intégrale d'une fonction $\text{[math]}$ , et sachant aussi que la courbe représentative est donnée. (je sais pas si je suis très claire...) Alors je vois pas trop comment faire...

**nissart7831** · 01/04/2006, 17h05

Pour l'exercice précedent, pour être plus clair, je disais que :

$\text{[math]}$ est équivalent à $\text{[math]}$

Tu as du voir ça depuis quelques années (résolution d'équations et d'inéquations du 1er degré).

Quant à ton nouvel exercice.
Par définition de l'integrale (la primitive), g est la dérivée de ta fonction définie par l'intégrale.
Donc étudier les variations de f, c'est étudier le signe de g. En factorisant g et en utilisant une propriété d'une des fonctions, tu peux en déduire le signe de g.

invite9611804b · 01/04/2006, 17h10

Ok, d'accord j'ai compris, merci beaucoup, c'est super sympa de ta part!

Merci encore!

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