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[TS] Intégration



  1. #1
    Anelor4488

    [TS] Intégration


    ------

    Bonjour tout le monde! J'ai encore eu un DM de maths à faire, je l'ai commencé, mais il y a quelques questions où je coince et d'autres où je ne suis pas sûre. Je vais donc vous montrer tout ça, en espérant que vous pourrez me guider ou m'aider.
    Voici l'énoncé :
    On considère la suite , définie pour par l'intégrale .
    1 - Calculer
    2 - a. Ecrire sous la forme où f est une fonction à déterminer et démontrer que pour tout .
    b. Conclure sur le sens de variation de la suite
    3 - a. A l'aide d'une intégration par parties de , démontrer que
    b. En déduire les valeurs exactes de et de
    4 - a. Déterminer un encadrement pour de : pour .
    b. En déduire un encadrement de , puis que
    c. Quelle est la limite de ? Justifier

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  4. #2
    Anelor4488

    Re : [TS] Intégration

    Alors j'ai fait la première question, j'ai essayé la deuxième, mais je n'y arrive pas, je ne parviens pas à simplifier f(x). Je reste avec
    Ensuite, je suppose qu'au petit b de cette question je dois trouver que la suite est décroissante puisque
    J'ai réussi à faire la question 3 (a et b)
    Pour la 4, je ne comprend pas trop ce qui est demandé. Pour le a, voici mon encadrement mais je ne sais pas si c'est bien ça qu'on veut. Et je n'arrive pas à enchainer sur la suite...
    Merci beaucoup d'avance pour votre aide!

  5. #3
    nissart7831

    Re : [TS] Intégration

    Bonjour,

    pour la 2.a., une intégration par parties devrait convenir.

  6. #4
    Anelor4488

    Re : [TS] Intégration

    Je ne pense pas qu'il faut que je fasse avec une intégration par partie pour le 2.a. car après cette question on me demande justement de faire une intégartion par partie de Mais j'ai quand même essayé, mais j'obtiens

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    GuYem

    Re : [TS] Intégration

    Salut, en fait ce qu'on te demande de faire dans la 2a, c'est de montrer que la différence I_n+1 - I_n ne dépend plus de n.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  9. #6
    Jeanpaul

    Re : [TS] Intégration

    On ne te demande pas de calculer la valeur de I ni d'intégrer I(n+1) - I(n) mais simplement de calculer I(n+1) en intégrant par parties en prenant x dx = dv...
    A toi la suite

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  11. #7
    GuYem

    Re : [TS] Intégration

    Bétise, en fait ça dépend encore de n, mais c'est caché dans la fonction f, la notation est mal choisie.

    En fait il n'y à rien à faire qu'une petite factorisation sous l'intégrale pour trouver la fonction f.
    Ensuite il suffit de se rendre compte que f est négative pour montrer que I l'est.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  12. #8
    Anelor4488

    Re : [TS] Intégration

    Citation Envoyé par GuYem
    En fait il n'y à rien à faire qu'une petite factorisation sous l'intégrale pour trouver la fonction f.
    Oui, j'ai déjà essayé mais je ne vois pas par quoi simplifier.

    [QUOTE]On ne te demande pas de calculer la valeur de I ni d'intégrer I(n+1) - I(n) mais simplement de calculer I(n+1) en intégrant par parties en prenant x dx = dv...[\QUOTE]
    Je comprend pas trop Je sais intégrer par partie mais je comprend pas : x dx = dv. Mais ici on ne me demande aucun calcul, juste d'écrire I en fonction de f(x). Du moins, c'est ce que j'ai compris

  13. #9
    nissart7831

    Re : [TS] Intégration

    Citation Envoyé par Anelor4488
    Oui, j'ai déjà essayé mais je ne vois pas par quoi simplifier.
    GuYem t'a vraiment donné la solution.
    Dans la factorisation que tu as faite, tu peux encore factoriser. Ce qui te permet de montrer simplement que la fonction est négative entre 1 et e donc que ton intégrale est négative. Ce qui est bien ce qu'on te demande par la suite.

  14. #10
    Anelor4488

    Re : [TS] Intégration

    Oui, je suis d'accord qu'il faut factoriser sous l'intégrale, mais je ne vois pas par quelle forme factoriser, j'ai ça :
    Mais je ne reconnais pas de formes spécifiques aux logarithmes pr simplifier

  15. #11
    nissart7831

    Re : [TS] Intégration

    Citation Envoyé par Anelor4488
    Oui, je suis d'accord qu'il faut factoriser sous l'intégrale, mais je ne vois pas par quelle forme factoriser, j'ai ça :
    Mais je ne reconnais pas de formes spécifiques aux logarithmes pr simplifier
    Rien de compliqué, c'est une simplification toute simple.
    C'est tellement visible que tu ne le vois pas.



    Et c'est reparti ...

  16. #12
    Anelor4488

    Re : [TS] Intégration

    Oui, merci beaucoup! Je m'en suis rendue compte après... Pour cette question c'est bon, il n'y a plus de problème, maintenant c'est pour la dernière, la 4.
    J'ai fait un encadrement de , ce qui me donne :



    J'ai donc ensuite essayé d'en déduire un encadrement de mais je ne pense pas que ce soit ça car j'obtiens ça : Je pense avoir fait une erreur dès le début de l'encadrement mais je ne vois pas où...

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  18. #13
    GuYem

    Re : [TS] Intégration

    Salut ton encadrement est bon mais ce n'est pas ce qu'on te demande de faire !
    Quand tu calcules tu trouves :

    C'est là la factorisation dont je parlais. La fonction f est alors celle qui apparait dans cette dernière intégrale, et il ne te faudra pas longtemps pour te rendre compte qu'elle est négative pour x entre 1 et e ; donc l'intégrale est également négative.

    EDIT : excuse, je suis à la bourre dans le topic, ignore si tu as réussi la 2a
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  19. #14
    Anelor4488

    Re : [TS] Intégration

    Oui voilà c'est ce que j'ai fait, mais merci beaucoup quand même!

  20. #15
    nissart7831

    Re : [TS] Intégration

    Citation Envoyé par Anelor4488
    J'ai fait un encadrement de , ce qui me donne :



    J'ai donc ensuite essayé d'en déduire un encadrement de mais je ne pense pas que ce soit ça car j'obtiens ça : Je pense avoir fait une erreur dès le début de l'encadrement mais je ne vois pas où...
    Bonsoir,

    C'est ça. Tu es sur la bonne voie.

    Calcule les deux intégrales "bornantes" et tu obtiens un encadrement de In+1.

    Ensuite avec la relation entre In+1 et In, tu peux en déduire un encadrement de In que tu dois raffiner par la suite pour obtenir l'encadrement demandé (grâce à une propriété analogue à la question 2a.)

    Allez, tu y es presque.

  21. #16
    Anelor4488

    Re : [TS] Intégration

    Bonjour!
    Alors j'ai calculé les intégrales bornantes, et je trouve : Mais je pense avoir fait une erreur (pourtant ma calculatrice me garantit que non...) car ensuite, en remplaçant par la relation que j'ai trouvé au début, j'obtiens Il y a juste ce petit "2e" qui me gène... Si quelqu'un voit mon erreur...
    Merci

  22. #17
    Anelor4488

    Re : [TS] Intégration

    Personne ne peut m'aider?... S'il vous plait...

  23. #18
    nissart7831

    Re : [TS] Intégration

    Citation Envoyé par Anelor4488
    Bonjour!
    Alors j'ai calculé les intégrales bornantes, et je trouve :
    Bonjour,

    cet encadrement est juste mais celui que tu trouves sur est faux car quand tu déduis l'encadrement de à partir de celui de , tu as oublié qu'il y avait un signe - devant ().
    En supprimant le -, il faut que tu renverses tes inégalités:
    est équivalent à
    Dernière modification par nissart7831 ; 01/04/2006 à 17h04.

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  25. #19
    Anelor4488

    Re : [TS] Intégration

    ah ouais, exact... Bon beh je m'éloigne encore plus du résultat final...
    Maintenant j'ai
    J'ai tout faux!

  26. #20
    nissart7831

    Re : [TS] Intégration

    Pleure pas Anelor.

    Pour le minorant, tu devrais avoir plutôt 2e-e² au numérateur. Tu as du faire une erreur de signe.
    Mais comme je t'avais suggéré plus haut (en s'inspirant de la 2.a.), tu peux en fait trouver un meilleur minorant qui est 0 (2e-e² est négatif).
    Quant au majorant, refais ton encadrement de In depuis le début (celui de In+1 est bon), il est faux. En fait tu as oublié un morceau, qui fait toute la différence.

  27. #21
    Anelor4488

    Re : [TS] Intégration

    Oh là là, je viens de le refaire et je trouve un truc encore plus incohérent, je vais écrire les étapes de ce que j'avais fait au début :
    On a
    Soit
    D'où,
    Or,
    D'où,


    Donc voilà ce que j'ai fait, mais je n'arrive pas à trouver mon erreur...

  28. #22
    nissart7831

    Re : [TS] Intégration

    Citation Envoyé par Anelor4488
    D'où,


    Donc voilà ce que j'ai fait, mais je n'arrive pas à trouver mon erreur...
    C'est pas compliqué,

    quand tu enlèves dans le membre du milieu, il faut que tu fasses de même sur les deux membres externes, sinon l'encadrement est faux.

    OK ?

  29. #23
    nissart7831

    Re : [TS] Intégration

    Tiens, du coup, je viens de m'apercevoir que j'avais fait une petite erreur de calcul sur le minorant de In, en l'ayant fait trop rapidement. Mais ne t'en fais pas, cela ne change rien à ce que je t'ai dit. Au contraire, cela simplifie la conclusion car on n'a pas besoin d'utiliser une analogue de la 2a.

  30. #24
    Anelor4488

    Re : [TS] Intégration

    Ah ok, je pensais qu'on pouvais passer un terme d'un membre à l'autre comme ça moi... Merci beaucoup, j'ai réussi à le faire! MERCI MERCI!

    Sinon (je sais je suis très très embêtante (pour rester polie...)) j'ai un autre exercice à faire et il est assez dur aussi, mais bon je vais essayer de me débrouiller sans l'aide du forum, mais à la première question, on me demande de justifier la variation d'une fonction sans la calculer, sachant que cette fonction est l'intégrale d'une fonction , et sachant aussi que la courbe représentative est donnée. (je sais pas si je suis très claire...) Alors je vois pas trop comment faire...

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  32. #25
    nissart7831

    Re : [TS] Intégration

    Pour l'exercice précedent, pour être plus clair, je disais que :

    est équivalent à

    Tu as du voir ça depuis quelques années (résolution d'équations et d'inéquations du 1er degré).

    Quant à ton nouvel exercice.
    Par définition de l'integrale (la primitive), g est la dérivée de ta fonction définie par l'intégrale.
    Donc étudier les variations de f, c'est étudier le signe de g. En factorisant g et en utilisant une propriété d'une des fonctions, tu peux en déduire le signe de g.

  33. #26
    Anelor4488

    Talking Re : [TS] Intégration

    Ok, d'accord j'ai compris, merci beaucoup, c'est super sympa de ta part!
    Merci encore!

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