Demande d'aide pour un dm de maths (TS : fonction sin, cos, tan)

[invite7880842b]

Bonjour, j'ai quelques soucis (voir même de gros soucis) avec mon dm de maths
Le but est d'étudier la fonction f(x)=sinx/x.
Il y a quatre parties à faire :

I)Etudier les variations de la fonction f sur [-pi;0[U]0;pi]

Ici, je trouve la dérivée f'(x) =(xcox-sinx)/x² mais je suis complètement perdu pour trouver le signe (on m'a dit qu'il fallait redériver le numérateur, ce que j'ai fais mais malgré cela, je ne trouve pas les variations de f...)

II)Dans cette partie, on doit calculer la limite de f en 0.

1)Montrer en comparant les aires des triangles OAC et OBI avec celle du secteur de disque délimité par le petit arc AI et les demi-droites [OA) et [OI) que, cosx<=x<=tanx. (désole pour les symboles je suis un peu perdu sur pc xD).

Pour cette question, j'ai beaucoup de choses mais je n'arrive pas à structurer ma réponse (ordre des choses à mettre...)
Pourrier vous me donner des pistes ?


(soucis avec l'image qui est beaucoup trop grande, désolé, l'informatique c'est pas mon truc du tout xD )

2,3,4) Pas de soucis pour celles ci

On déduit que cosx<=x/sinx<=1/cosx
Puis on trouve que lim en x->0+ de f(x) est 1
Et enfin, on montre que f est paire et que lim x->0- de f(x) est également 1 (sauf erreur de ma part)

5)Peut-on déterminer un réel "a" tel que la fonction définie sur [-pi;pi] par :
g(x)=f(x) si x est différent de 0
g(0)=a
soit continue sur [-pi;pi]

Et c'est la que je coince totalement, je ne vois pas du tout comment faire... Est ce que vous auriez quelques explications ?

Pour le reste du dm je vais voir ce que je peux faire moi-même et je vous redis

Merci d'avance pour vos réponses constructives parce que je suis vraiment perdu pour certains points du dm
-----

[invite184b87fd]

Bonsoir ,

ta fonction g est continue en 0 si

définition que tu as du avoir en cours .

Cordialement

[invite51d17075]

Bonjour, j'ai quelques soucis (voir même de gros soucis) avec mon dm de maths
Le but est d'étudier la fonction f(x)=sinx/x.
Il y a quatre parties à faire :

I)Etudier les variations de la fonction f sur [-pi;0[U]0;pi]

Ici, je trouve la dérivée f'(x) =(xcox-sinx)/x² mais je suis complètement perdu pour trouver le signe (on m'a dit qu'il fallait redériver le numérateur, ce que j'ai fais mais malgré cela, je ne trouve pas les variations de f...)

c'est normal car le dénominateur est tj >0
que trouves tu ?

[invite7880842b]

Merci pour vos réponses

Mais du coup, shezone, si g(0) = lim x->0+ f(x) = limx->0- f(x) alors "a" est tout simplement égal à 1 ?

ansset, pour h'(x) je trouve : h'(x) =cox-xsinx-cosx=-xsinx avec h(x) =xcox-sinx (numérateur de f'(x) )
Du coup, je trouve que h'(x) est , négative sur [-pi;pi] (tableau de signe).
Donc forcément, h(x) est décroissante sur ce même intervalle.
Et c'est quand je dois en déduire f' et f que je suis perdu car ça ne correspond pas aux courbes que je trace sur ma calculatrice
Je ne comprends pas d'où vient mon erreur...

Quelqu'un a t-il une réponse à mon problème ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite184b87fd]

Pour la continuité oui a = 1

cdt

[invite184b87fd]

Ta fonction h est décroissante et vaut 0 en 0 , - en et en -

Tu peux donc en déduire le signe de ta dérivée .

cdt

[invite7880842b]

D'accord merci beaucoup, je comprends mieux d'où vient mon erreur, je vais reprendre toute la 1ere question

Par contre avez-vous des idées d'organisation quand à la question 1 de la partie II) (cf photo cercle trigonométrique)?

[invite51d17075]

1)Montrer en comparant les aires des triangles OAC et OBI avec celle du secteur de disque délimité par le petit arc AI et les demi-droites [OA) et [OI) que, cosx<=x<=tanx. (désole pour les symboles je suis un peu perdu sur pc xD).

Pour cette question, j'ai beaucoup de choses mais je n'arrive pas à structurer ma réponse (ordre des choses à mettre...)
Pourrier vous me donner des pistes ?

dis nous ce que tu as fait !
Cdt

[invite51d17075]

il y a une erreur dans l'énoncé,
la première partie de l'inégalité cos(x)<=x est fausse !
ce devrait certainement être sin(x)cos(x)<=x !

sinon, il suffit d'exprimer la valeur des trois surfaces proposées.

[invite7880842b]

Merci encore pour tes réponses, j'ai grâce à toi, bientôt terminé les deux premières parties
Excuse moi pour l'erreur, c'est bien sin(x)cos(x) <= x !

Pour la première question de la partie 2, je n'arrive à montrer que x<= tanx et pas le reste de l'inégalité...
Pour prouver x<=tanx, je sais que l'angle BOI=x et donc que tanx = tan (BOI) = IB d'après le répère. On a donc bien x<= tanx car tanx = IB =>x (enfin c'est ce que pense être la bonne réponse ) Par contre pour le reste de l'inégalité je ne vois pas comment faire... Auriez vous des pistes ou des indications ?

Sinon, j'ai enfin débuté la 3e partie de mon dm. Mais, je rencontre des difficultés face à une question qui est essentielle pour répondre à la suivante:

1)a) Aucun soucis pour celle-ci, on montre juste que h(x)=x-sinx=>0 sur [0;pi] (j'ai utilisé la dérivée de h(x) que j'ai encadré, ce qui nous donne 2=>-cosx=>0. h' est positive donc h est croissante. Or, h(0)=0 et h(pi)=pi donc h(x)=>0)

b)Montrer en calculant h'' que pour n'importe quel x appartenant à [0;pi], h(x)<=(x^3)/6 et en déduire que pour n'importe quel x appartenant à [-pi;pi], |h(x)|<=(x^3)/6.
J'arrive à trouver la dérivée qui est h''(x)=sinx (sauf erreur de ma part bien sur) et puis après, je ne vois pas comment prouver les deux inégalités... N'y comment même lié notre fonction et ce (x^3)/6
Auriez vous des idées pour cette question ?

Merci d'avance pour vos éléments de réponses

[invite51d17075]

Merci encore pour tes réponses, j'ai grâce à toi, bientôt terminé les deux premières parties
Excuse moi pour l'erreur, c'est bien sin(x)cos(x) <= x !

Pour la première question de la partie 2, je n'arrive à montrer que x<= tanx et pas le reste de l'inégalité...

pour les deux inégalités , elles découlent naturellement de l'inclusion des 3 surfaces
celle du petit triangle
celle de de la portion du disque qui vaut x/2
celle du grand triangle qui vaut tan(x)/2

pour ta(tes) questions 3) , on n'a pas les énoncés !
ou alors j'ai mal lu.
Cdt

[invite7880842b]

Merci beaucoup pour ton aide ansset, je ne pensais pas que la formule d'aire des triangles pouvait à ce point être utile dans la question ! Du coup cette question n'est plus un problème !

Pour la 3e partie, les seules données que l'on nous fournit sont :
La fonction g ainsi définie est -elle dérivable en 0 ? (on se souvient que g(0)=1 et que g(x)=f(x)=sinx/x pour tout x différent de 0. De plus, g est continue sur [-pi;pi] => question 5 de la partie 2)
1)On pose, pour x appartenant à I=[0;pi], h(x)=x-sinx.
a)Montrer que pour n'importe quel x appartenant à I, h(x)=>0 (pas de soucis pour cette question)
b)Montrer en calculant h'' que pour n'importe quel x appartenant à [0;pi], h(x)<=(x^3)/6 et en déduire que pour n'importe quel x appartenant à [-pi;pi], |h(x)|<=(x^3)/6.

Voila ce que l'on nous donne comme informations... Et je ne comprends toujours pas comment on pose de notre fonction h à ce (x^3)/6

Je sais pas si vous avez compris mais en tout c'est tout ce qu'on a xD
Dites moi si vous avez des indices, des explications et merci d'avance

[invite51d17075]

b)Montrer en calculant h'' que pour n'importe quel x appartenant à [0;pi], h(x)<=(x^3)/6 et en déduire que pour n'importe quel x appartenant à [-pi;pi], |h(x)|<=(x^3)/6.
Voila ce que l'on nous donne comme informations... Et je ne comprends toujours pas comment on pose de notre fonction h à ce (x^3)/6

on te propose de passer par le calcul de h" !
donc , il faut le faire .
ensuite tu verras que ton h"<= f(x) fonction très simple ; inégalité déjà vu plus haut dans ton exercice ( ps : pas ton f du début , j'ai écrit f par défaut )
il faut ensuite "remonter" à h'(x) qui est donc <= Int (0;x) f(t)dt
puis remonter encore une fois à h(x).
Cordialement.

[invite51d17075]

petite correction ( oubli ):

il faut ensuite "remonter" à h'(x) qui est donc <= Int (0;x) f(t)dt

il faut lire :
h'(x) qui est donc <= h'0)+ Int (0;x) f(t)dt

[invite7880842b]

Que signifie "Int"? Je ne l'ai pas encore vu en cours donc je ne pense pas avoir besoin de l'utiliser.
Sinon, j'ai trouver h''(x)=sinx avec -1<=sinx<=1.
A partir de là je ne vois pas comment trouver que h(x)<=(x^3)/6...

Voila, voila xD

[invite51d17075]

Int : Intégrale .
c'est la solution la plus simple, si tu l'as vu en cours.
notion de primitive , ici d'une fct très simple.

[invite7880842b]

Je ne connais pas du tout cette fonction... On est censé la faire quand dans une année de terminale?
On a commencé vaguement à manipuler les primitives en physique mais sinon rien de réellement concret.
D'ailleurs devenez quoi, j'ai réessayé de faire la question mais je ne trouvais aucune réponse mise à part h''. Donc j'attends de voir mon professeur de mathématiques et devinez quoi, il est absent xD
Je ne sais pas du tout comment continuer le dm du coup...

Avez vous d'autres solutions ? (excusez moi de ne pas avoir répondu avant, j'ai été très occupé ces derniers jours)

[invite51d17075]

Je ne connais pas du tout cette fonction... On est censé la faire quand dans une année de terminale?
On a commencé vaguement à manipuler les primitives en physique mais sinon rien de réellement concret.

peux tu préciser ?
sais tu par exemple que F(x)=(1/2)x² est une primitive de f(x)=x , car F'(x)=f(x)
et donc que

[invite7880842b]

On a utilisé la primitive pour les lois de Newton et tout ce qui est mouvement dans l'espace : on connait notamment :
si f'(x)=0 alors la primitive est un réel k.
si f'(x)=a (réel), alors la primitive est a*x+k.
si f'(x)=a*x alors la primitive est (1/2)a*x²+k.
Voila c'est tout ce que je connais des primitives, si c'est bien ça...

[invite51d17075]

du coup je suis perplexe sur ton exercice.
si on te propose de calculer f" , c'était ( il me semble ) pour remonter à f ; donc via un processus d'intégration.
en partant d'un majorant de f" ; c-a-d ici f"(x)=sin(x)<=x
dont on peut déduire f'(x)<=....
puis f(x)<=(x^3)/6.


c'est la voie naturelle pour montrer ton inégalité.

[invite7880842b]

Bonsoir ! J'ai enfin revu mon professeur de maths aujourd'hui. J'ai donc posé ma question pour la question sur h(x)<=(x^3)/6. Il m'a clairement répondu que j'étais pas obligé de la faire et ne m'a donné aucun élément de réponse donc je pense abandonner cette question définitivement ! Merci pour votre aide tout de même

Par contre, je n'arrive toujours pas à prouver que g(x) est dérivable ou non en 0 (g(x)=f(x)=sinx/x pour tout x différent de 0 et g(0)=a. On avait également trouvé que a=1. Enfin, g(x) est continue sur [-pi;pi]). Normalement on est censé utiliser justement la question d'avant soit h(x)<=(x^3)/6 et |h(x)|<=(x^3)/6. Mais vu que je n'y arrive pas, je ne vois pas comment faire et je n'arrive à faire aucun lien.

Enfin, il me reste une dernière démonstration à faire qui utilise la définition de la dérivabilité de sinx, pour prouver que la limite, pour x tendant vers 0, de sinx/x est égale à 1. Je ne vois pas du tout comment faire. Je sais cependant que sin'x=cosx.

Pourriez vous m'aider encore une fois si ça ne vous dérange pas ? Merci d'avance pour vos réponses

[invite7880842b]

Bonsoir ! J'ai enfin revu mon professeur de maths aujourd'hui. J'ai donc posé ma question pour la question sur h(x)<=(x^3)/6. Il m'a clairement répondu que j'étais pas obligé de la faire et ne m'a donné aucun élément de réponse donc je pense abandonner cette question définitivement ! Merci pour votre aide tout de même

Par contre, je n'arrive toujours pas à prouver que g(x) est dérivable ou non en 0 (g(x)=f(x)=sinx/x pour tout x différent de 0 et g(0)=a. On avait également trouvé que a=1. Enfin, g(x) est continue sur [-pi;pi]). Normalement on est censé utiliser justement la question d'avant soit h(x)<=(x^3)/6 et |h(x)|<=(x^3)/6. Mais vu que je n'y arrive pas, je ne vois pas comment faire et je n'arrive à faire aucun lien.

Enfin, il me reste une dernière démonstration à faire qui utilise la définition de la dérivabilité de sinx, pour prouver que la limite, pour x tendant vers 0, de sinx/x est égale à 1. Je ne vois pas du tout comment faire. Je sais cependant que sin'x=cosx.

Pourriez vous m'aider encore une fois si ça ne vous dérange pas ? Merci d'avance pour vos réponses

[invite51d17075]

Bonsoir ! J'ai enfin revu mon professeur de maths aujourd'hui. J'ai donc posé ma question pour la question sur h(x)<=(x^3)/6. Il m'a clairement répondu que j'étais pas obligé de la faire et ne m'a donné aucun élément de réponse donc je pense abandonner cette question définitivement ! Merci pour votre aide tout de même

Par contre, je n'arrive toujours pas à prouver que g(x) est dérivable ou non en 0 (g(x)=f(x)=sinx/x pour tout x différent de 0 et g(0)=a. On avait également trouvé que a=1. Enfin, g(x) est continue sur [-pi;pi]). Normalement on est censé utiliser justement la question d'avant soit h(x)<=(x^3)/6 et |h(x)|<=(x^3)/6. Mais vu que je n'y arrive pas, je ne vois pas comment faire et je n'arrive à faire aucun lien.

Enfin, il me reste une dernière démonstration à faire qui utilise la définition de la dérivabilité de sinx, pour prouver que la limite, pour x tendant vers 0, de sinx/x est égale à 1. Je ne vois pas du tout comment faire. Je sais cependant que sin'x=cosx.

bsr,
curieux l'attitude du prof !
reprenons tes deux points :
Normalement on est censé utiliser justement la question d'avant soit h(x)<=(x^3)/6 et |h(x)|<=(x^3)/6.
C'est faux sur [-pi;0] car sur cet intervalle x^3 est négatif alors que |h(x)|est >=0
c'est certainement
|h(x)|<=|(x^3)/6|
Or, h(x)=x-sin(x) donc
|x-sin(x)|<=|(x^3)/6| d'où pour tout x non nul
|x-sin(x)|/|x|<=x^2/6 soit
|1-sin(x)/x| <= x^2/6 , d'où la conclusion pour la limite en x=0.

pour la dernière, il faudrait connaître les éléments de cours que tu as.

[invite51d17075]

ps :
en relisant je vois au départ
h(x)=xcos(x)-sin(x) et plus loin h(x)=x-sin(x).
j'ai du mal à comprendre le fil des questions de l'exposé et donc par voie de conséquence ce fil ci .

[invite7880842b]

Désolé d'avoir envoyé deux fois le même message, je sais pas ce qui s'est passé xD
Sinon, c'est bien h(x)=x-sinx, h'(x)=1-cosx et h''(x)=sinx.
Et, on doit prouver en effet que h(x)<=|(x^3)/6|, sur [-pi;pi] en prouvant d'abord que h(x)<=(x^3)/6 sur [0;pi], grâce à h''(x).

[invite7880842b]

Et sinon par rapport à la dernière question, on a vu pour le cours de trigo : dérivabilité, définition, variations et limites des fonctions sin, tan, cos (+graphe). Après nous n'avons pas commencé le cours sur l'intégration, les primitives etc...

[invite51d17075]

OK, je suppose qu'il faut repartir de la définition première de la dérivée.
ici par exemple en 0.
qcq soit la fonction f la dérivée en 0 si elle existe est la limite (quand h->0) de (f(h)-f(0))/h.
tu dois pouvoir ainsi remonter en deux fois de f'' à f .....