sin (b)/sin (a)<b/a
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sin (b)/sin (a)<b/a



  1. #1
    invite74451294

    sin (b)/sin (a)<b/a


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    Bonjour,
    Je tente de démontrer que pour deux réels a et b de ]0;pi/2 [ avec a <b, on a : sin (b)/sin (a)<b/a.
    J'ai tenté de m'appuyer sur la propriété: Pour tout x de ]0;pi/2[, sin (x)<x, malheureusement je ne parviens pas au résultat.
    Pourriez-vous me guider svp?
    Merci beaucoup ^^

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  2. #2
    invite74451294

    Re : sin (b)/sin (a)<b/a

    J'ai trouvé une solution, bien que je pense qu'il en existe d'autres, moins hasardeuses :
    Comme quelque soit x de ]0;pi/2 [, sin (x)<x,
    et a < b, 0 <sin (b)-sin (a)<b-a et 0 <sin (a)<sin (b).
    Donc -b+sin (b)-sin (a)<-a et 0 <sin (a)<sin (b).
    Donc, par produit des deux inégalités, -bsin (a)+sin (b)sin (a)-sin (a)sin (a)<-a×sin (b)
    Donc bsin (a)-sin (b)sin(a)+sin (a)sin (a)>a×sin (b)
    Or sin(a)sin (a)-sin(b)sin (a)<0 donc bsin (a)>asin (b).
    Donc b/a>sin (b)/sin (a).

  3. #3
    Merlin95

    Re : sin (b)/sin (a)<b/a

    Attention

    sin a < a
    - sin a > -a
    donc
    sin b-sin a > b-a

  4. #4
    Merlin95

    Re : sin (b)/sin (a)<b/a

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Attention

    sin a < a
    - sin a > -a
    donc
    sin b-sin a > b-a
    J'ai voulu dire

    b > sin b
    - sin a > -a
    On ne peut rien en déduire d'autre que

    sin b + sin a < a +b

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : sin (b)/sin (a)<b/a

    On résout le pb en regardant la fonction f(x) = sin(x)/x entre 0 et pi/2
    f'(x)=(xcos(x)-sin(x))/x²
    le numérateur est négatif car x<tg(x) ( sur l'intervalle )
    x< sin(x)/cos(x) d'où xcos(x) < sin(x)
    la fonction est donc strictement décroissante sur l'intervalle.
    d'où si a<b f(b)<f(a) soit
    sin(b)/b < sin(a)/a
    sin(b)/sin(a) < b/a

  7. #6
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : sin (b)/sin (a)<b/a

    oublier de préciser que les sin et cos sont >0 sur l'intervalle.