Bonjour,
Je tente de démontrer que pour deux réels a et b de ]0;pi/2 [ avec a <b, on a : sin (b)/sin (a)<b/a.
J'ai tenté de m'appuyer sur la propriété: Pour tout x de ]0;pi/2[, sin (x)<x, malheureusement je ne parviens pas au résultat.
Pourriez-vous me guider svp?
Merci beaucoup ^^
J'ai trouvé une solution, bien que je pense qu'il en existe d'autres, moins hasardeuses :
Comme quelque soit x de ]0;pi/2 [, sin (x)<x,
et a < b, 0 <sin (b)-sin (a)<b-a et 0 <sin (a)<sin (b).
Donc -b+sin (b)-sin (a)<-a et 0 <sin (a)<sin (b).
Donc, par produit des deux inégalités, -bsin (a)+sin (b)sin (a)-sin (a)sin (a)<-a×sin (b)
Donc bsin (a)-sin (b)sin(a)+sin (a)sin (a)>a×sin (b)
Or sin(a)sin (a)-sin(b)sin (a)<0 donc bsin (a)>asin (b).
Donc b/a>sin (b)/sin (a).
Attention
sin a < a
- sin a > -a
donc
sin b-sin a > b-a
J'ai voulu direEnvoyé par Merlin95
b > sin b
- sin a > -a
On ne peut rien en déduire d'autre que
sin b + sin a < a +b
On résout le pb en regardant la fonction f(x) = sin(x)/x entre 0 et pi/2
f'(x)=(xcos(x)-sin(x))/x²
le numérateur est négatif car x<tg(x) ( sur l'intervalle )
x< sin(x)/cos(x) d'où xcos(x) < sin(x)
la fonction est donc strictement décroissante sur l'intervalle.
d'où si a<b f(b)<f(a) soit
sin(b)/b < sin(a)/a
sin(b)/sin(a) < b/a
oublier de préciser que les sin et cos sont >0 sur l'intervalle.
