Geométrie en action

[dxo9]

Bonjour,
je suis actuellement en train de faire un exercice de géométrie et je voudrais avoir vos impressions sur mes résultats

1. Réaliser la figure qui
correspond aux indications suivantes :
(a) C est un
cercle de
entre O et de diamètre [BC] tel que BC = 8 ; (b) A est un point du cercle tel que BA = 4 ; B′ est le symétrique de B par rapport à A.
2. (a) Montrer que le triangle BAC est rectangle en A.
(b) Calculer AC ; sachant que 1, 73 < √3 < 1, 74, déterminer un encadrement de AC à
10−1 sans utiliser votre
calculatrice.
Déterminer en justifiant la nature du triangle AOB.
(d) Calculer la mesure en degré puis en radian de
chacun des angles de AOC.
(e) Calculer BB′.
(f) Que représente la droite (AC) pour le segment [BB′]. Justifier votre réponse.
(g) Calculer CB′.
(h) Quelle est la nature du triangle BCB′ ?

Bon alors pour figure c pas trop compliquée alors passons à la rédaction

2a) Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Donc ABC est rectangle en A.

b)D'après le thm de Pythagore :
AC^2=AB^2+BC^2
AC^2=16+64
AC^2=80

c) D'une part on sait que AB=4 et d'autre part on sait que O est le centre du cercle ce qui signifie que pour tout point appartenant au cercle , la distance séparant O et B est équivalente à la distance séparant A et O sachant OB=4 on en déduit que AO=4 et par conséquent AOB est un triangle équilatéral.

d)D'après le raisonnement précèdent on sait que OA=OC=4 et on sait aussi que AC= 4 √5 Donc AOC est isocèle.

ai-je le droit de supposer que pour faire un tour complet OB jusqu'à OA correspond à 180° or je sais que l'angle BOA équivaut à 60°sachant que ce BOA est équilatéral . Donc il me suffit de calculer la différence entre 180 et 60 c'est à dire 120° et par logique je peux déduire les 2 autres angles

(Cela m'éviterai de devoir passer par des formules comme celle d'al Kashi )

e) On sait que B' est le symétrique de B par rapport à A , on sait aussi BA= 4 cm Donc BB'=8cm
f) (AC) passe par le sommet c ? (AC) car ABC est rectangle en A par conséquent (AC) est la hauteur issue de C passant le milieu de [BB']

D'après le thm de Pythagore :
B'C^2=AB'^2+AC^2
B'C^2=16+80
B'C^2=96
B'C=4√6

Donc pour la dernière question je ne pense pas que le triangle soit triangle quelconque donc je pense m'être trompé dans un des mes calculs ou raisonnement ; si vous pouviez me dire lequel ( il faudra aussi que j'apprenne à écrire des phrases courtes pour les raisonnement mathématiques ).

Merci d'avance pour tout aide
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[Kairn]

Salut !

2.a. Il y a un problème de logique. Notons P : "le triangle est rectangle" et Q : "le triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est le plus long côté du triangle".
Tu utilise l'implication et le fait que Q soit vraie pour prouver que P est vraie. Ce raisonnement est faux : si P et Q sont quelconques et que , la propriété Q pourrait être vraie sans que P le soit.
Néanmoins, dans notre cas, on a aussi , et c'est cela que tu dois utiliser. En fait, dans notre cas, les propriétés P et Q sont équivalentes : l'une ne peut être vérifiée que si l'autre l'est.

2.b. Tu te trompes dans l'utilisation du théorème de Pythagore : c'est BC qui est l’hypoténuse, et pas AC.

2.c. OK

2.d. AOC est bien isocèle, mais AC ne fait pas (l'erreur est à la question 2.b.).

ai-je le droit de supposer que pour faire un tour complet OB jusqu'à OA correspond à 180° or je sais que l'angle BOA équivaut à 60°sachant que ce BOA est équilatéral . Donc il me suffit de calculer la différence entre 180 et 60 c'est à dire 120° et par logique je peux déduire les 2 autres angles

Je n'ai pas tout saisi, mais il me semble que tu as l'idée. Tu calcules effectivement l'angle OAC par soustraction, connaissant les angles BAC (dans le triangle rectangle) et BAO (dans le triangle équilatéral). Il y a cependant une erreur, je ne vois pas d'où sort ton 180°...

2.e. OK

2.f.

(AC) passe par le sommet c ? (AC) car ABC est rectangle en A par conséquent (AC) est la hauteur issue de C passant le milieu de [BB']

Je ne comprends pas le début, mais oui, (AC) est la hauteur issue de C pour le triangle ABC, donc passe par le milieu de [BB'] (par symétrie).
Toutefois tu n'as pas répondu à la question : comment s'appelle (AC) pour [BB'] ? Regarde la façon dont (AC) coupe [BB'].

2.g. Le résultat est faux, parce que ta valeur de AC est fausse (erreur en 2.b.). Utiliser le théorème de Pythagore fonctionne, mais il y a plus court : utilise les symétries, càd le résultat de la question précédente.

2.h. Effectivement, BCB' n'est pas quelconque : il est équilatéral. Reprends tout ça en corrigeant les erreurs .

[dxo9]

d'accord je vais corriger mes erreurs à partir de vos remarques . Merci
Et par rapport à ce que vous me disiez pour la question 2.f. ce serait sa médiatrice ? nn

[dxo9]

les 180 ° correspondent à l'angle qu'il effectuer pour faire la distance orienté de B jusqu'à C étant séparés par O ( O est le centre du cercle et BC est le diamètre )
C'est vrai que comme ca c'est pas très évident , c'est plus facile de comprendre mon raisonnement avec un dessein

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kairn]

Et par rapport à ce que vous me disiez pour la question 2.f. ce serait sa médiatrice ? nn

Oui ! Mais il faut en être sûr

les 180 ° correspondent à l'angle qu'il effectuer pour faire la distance orienté de B jusqu'à C étant séparés par O ( O est le centre du cercle et BC est le diamètre )

Ah oui pardon, je ne regardais pas le bon angle ! Tu parlais de l'angle entre OB et OA dans ton premier post, mais je crois que tu voulais dire OB et OC. Dans ce cas je suis d'accord, l'angle au sommet du triangle AOC mesure bien 120°, et tu peux en déduire les autres car le triangle est isocèle. N'oublie pas de convertir tout cela en radians comme demandé.

As-tu refais les calculs de longueur avec Pythagore ?

[dxo9]

Oui (dsl du retard ) j'ai bien recalculer et sa me donne bien un triangle équilatéral
Merci
Et pour le calcul des angles en radians oui c'est très facile tant qu'on garde en tête la proportionnalité où π= 180°