Besoin d'aide

[invitee925db98]

Bonjour,
Je suis en 1°S et notre professeur de maths nous a donné une feuille d'exercices. Seulement voilà, j'avais des doutes sur mes réponses, je suis donc allée voir le prof qui m'a dit que tout était faux...
J'ai donc repris les exercices, car nous ne les corrigerons pas en classe, et je n'y arrive pas...
Je me tourne donc vers vous pour vous demander de l'aide...
Voici l'exercice:

I) m désigne un nombre réel. On considère la famille de parabole Pm d'équation y=x^2+(2m-3)x-m^2+2m+3.

1)b) les sommets Sm semblent avoir une propriété géométrique. Conjecturer cette propriété.

Ma réponse était:
Pour toutes fonctions polynomes de degré 2, les sommets de la courbe se déplacent sur une parabole définie.

2)a) Exprimer les coordonnées Xm et Ym de ces sommets en fonction de m.

Ma réponse était fausse j'ai donc repris le calcul et trouvé:
Xm=alpha Ym= beta
y=x^2+(2m-3)x-m^2+2m+3
y=(x+(m-3/2))^2-(m^2-9/4)-(m+1)^2+2
Et ensuite je bloque...

b) Déterminer une relation entre Xm et Ym indépendante de m.

Ici, je ne comprends pas la question...

c) Démontrer la conjecture de la première question.



Merci beaucoup de prendre de votre temps pour m'aider.
Bonne journée.
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[jacknicklaus]

tu fais des calculs sans objectif clair. commence par le début :


si je te donne une parabole y = f(x) = ax² + bx + c, quelles sont les coordonnées (xm,ym) du sommet de la parabole ?

Ensuite, si tu as le bon résultat (c'est du cours), tu appliqueras le résultat à l'équation de parabole de ton problème.

[invitee925db98]

Je suis désolée, mais je ne comprends pas Si j'ai une parabole avec Y= f(x)= ax^2+bx+c = a(x- alpha)+ beta?
donc les sommets seraient égaux à Xm= alpha et Ym= beta?
Et j'ai la bonne réponse pour quelle question?
Merci de m'aider

[gg0]

Oui, mais combien vaut alpha ? Et bêta ?
Soit tu as ça dans ton cours, soit tu y trouveras le moyen de les calculer.

NB : c'est Y= f(x)= ax^2+bx+c = a(x- alpha) ² + bêta

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee925db98]

Donc:

Y= (x+(m-3/2))^2-(m^2-9/4)-(m+1)^2+2
Y= (x+m-3/2-m-1)(x+m-3/2+m+1)-(m^2-9/4)+2
Y=(x-5/2)(x+2m-1/2)-(m^2-9/4)+2
Y= x^2-(-5/2+2m-1/2)-(m^2-9/4)+2
Y= x^2+6/2-2m-m^2-9/4+2
Y=x^2-m^2-2m+11/4
Y=x^2-(m^2+2m)+1/4
Y=x^2-(m^2+2*m*1+1^2-1^2)+1/4
Y= x^2-(m+1)^2+5/4

Et ensuite, le x carré me bloque, je ne sais pas comment finir ce calcul...
Merci

[jacknicklaus]

je le redis, tu fais des tas de calcul sans savoir où aller.


gg0 t'as donné la méthode pour trouver les alpha et béta

d'une part tu as
f(x) = ax² + bx +c (forme polynomiale la plus générale)
d'autre part
f(x) = a(x-alpha)² + beta
cette forme met en évidence les coordonnées (alpha,beta) du sommet de parabole
en développant cette forme : f(x) = a(x² -2x.alpha) + a.alpha² + beta

tu égalises les deux, et comme cette égalité est valable pour tout x, il faut et il suffit que les coefficients en x², x et constantes soient égaux

ax² = ax² : ca ne nous apporte rien, mais ca rassure...
-2a.alpha = b ==> alpha = ...... on connaît donc alpha !
a.alpha² + beta = c ==> donc beta = c - a.alpha²
or on connait alpha (ligne du dessus) donc maintenant aussi beta = ......


NOTE : il y a de bonnes chances pour que ces calculs soient dans ton cours. sinon pas grave, tu vois que c'est facile à obtenir.

Maintenant tu considères l'équation de ton problème
f(x) = x²+(2m-3)x -m²+2m+3
tu identifies avec la forme ax² + bx + c
a = 1
b = (2m-3)
c = -m² + 2m + 3

on applique la recette avec les a b c en fonction de m : alpha = ..... et beta = ....
fini !

a toi de trouver les ....

[gg0]

Bonjour.

N'importe comment, ton calcul est faux. Il n'y a aucune raison pour que x^2+(2m-3)x-m^2+2m+3 (ton y) soit égal à x^2-(m+1)^2+5/4.

Je ne sais pas pourquoi tu as écrit "Y= (x+(m-3/2))^2-(m^2-9/4)-(m+1)^2+2". Tu sors ça d'où ???

Si tu appliques les méthodes de ton cours, tu remplaces dans y=x^2+(2m-3)x-m^2+2m+3 la partie x^2+(2m-3)x par une quantité égale, en utilisant l'identité remarquable (a+b)²=a²+2ab+b². Tu as le carré de x (le a), puis le double produit de x par m+3/2 (le b), il te manque le b². On peut toujours le rajouter pour l'enlever immédiatement :
y=x^2+(2m-3)x-m^2+2m+3
y=x^2+2(m-3/2)x +0 -m^2+2m+3
y=x^2+2(m-3/2)x +(m-3/2)² - (m-3/2)² -m^2+2m+3
Comme (m-3/2)² - (m-3/2)² fait 0, le rajouter ne change pas la valeur de y (*)
y=[x^2+2(m-3/2)x +(m-3/2)²] +[ - (m-3/2)² -m^2+2m+3 ]
Il ne te reste plus qu'à factoriser dans le premier crochet et tu trouveras alpha. Quant à bêta, il est déjà écrit .

Cordialement.

(*) dans les calculs, on ne change pas la valeur du résultat, sinon on ne sait plus si c'est juste.