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Notions des fonctions dérivées



  1. #1
    Selpmur

    Notions des fonctions dérivées

    Bonjour,

    Je fais actuellement un devoir sur les fonctions dérivées et j'ai quelques problèmes.
    Je vous ai mit l'image qui va avec l'exercice.
    C'est à partir de la question 3 de la première partie que j'ai plus de mal. (même si je ne suis pas sûre d'avoir juste avant)



    Première partie : lecture graphique


    On designe par f la fonction définie sur l'intervalle [-2;2] dont la courbe représentative est la courbe C dessinée ci-dessous.

    1) Lire graphiquement f(0);f(1) et f'(1)

    2) La tangente en O à la courbe C passe par le point A(1;-3).
    =>En déduire la valeur de f'(0) et l'équation réduite de la tangent en O à la courbe C.
    => Donner graphiquement la position de la courbe C par rapport à sa tangente en O.

    3) Résoudre graphiquement sur l'intervalle [-2;2] les équations:
    a) f(x)=0
    b) f'(x)=0




    Deuxième partie : utilisation de l'expression de f



    La courbe C précédente est représentative de la fonction f définie sur [-2;2] par f(x)=x3-3x

    1) Comparer f(x) et f(-x)
    Interpréter graphiquement le résultat obtenu

    2) Calculer f'(x) et retrouver ainsi les valeurs de f'(0) et f'(1).

    3) Déterminer le signe de f(x)-(-3x) sur l'intervalle ]0;2] et retrouver ainsi la position de C par rapport à sa tangent en O.

    4) Vérifier que f(x)=x(x-3)(x+3)
    En déduire les valeurs exactes des solutions de l'équation f(x)=0


    ____ Réponses ____

    Partie 1 Lecture graphique

    1.
    On peut lire graphiquement que :
    f(0) = 0
    L'image de 0 est 0.

    f(1) = -2
    L'image de 1 est -2.

    Comme cette tangente est horizontale, le coefficient directeur de cette tangente est 0.

    2.
    ► f '(0) est le coefficient directeur de la tangente à C au point d'abscisse 0.

    On voit que le point qu'on nommera B(0;0) se situe sur la tangente.

    Pour trouver le coefficient directeur d'une tangente, il faut choisir un autre point qui passe par cette tangente. On prendra A(1;-3).

    Il suffit alors d'appliquer la formule suivante :

    f '(1) = (yB - yA)/ (xB - xA)

    f '(1) = (0-(-3))/ (0- 1)

    f '(1) = -3

    L'équation d'une tangente est sous la forme suivante : y = mt+p

    Il suffit alors de trouver l'ordonnée à l'origine.

    -3 = -3 * 1 + p
    -3 = -3 + p
    p = 0
    L'ordonnée à l'origine est 0.

    L'équation réduite de la tangente en 0 à la courbe C est donc : y = -3t.

    ► On constate que sur [-2;0[, la courbe C au dessous de sa tangente et au dessus sur ]0;2], la courbe C est sur la tangente a environ 0.

    3.
    a. f(0) = 0

    L'antécédent de 0 est 0.

    b.
    f(0) = 0
    L'antécédent de 0 est 0.


    Partie 2 Utilisation de l'expression de f

    1.
    f(x) = x³ - 3x

    f(-x) = -x³ - 3 (-x)

    f(-x) = -x³ + 3x

    soit l'opposé de f(x) ? Je ne comprends pas trop ce que je suis censée dire
    Et que veut dire "interpréter graphiquement le résultat obtenu" ? Il faut que je trace la fonction ?

    2.

    f '(x)=(x³)'-3(x)'=3x²-3
    f '(0) = 3*0-3=-3
    f '(1)=3*1²-3 = 0

    3.

    Il faut que je fasse un tableau des signes j'imagine ? J'ai pas encore essayée parce que je dois y réviser avant.

    4. Il faut que je simplifie, et après je trouverai f (x) = x3 - 3 x ?

    ________

    Les deux dernières questions j'essayerai de les faire à tête reposé demain, mais si déjà vous pouviez me dire si j'ai juste pour les autres questions et me guider un peu pour que je sache mes erreurs, je vous en serais très reconnaissante !

    Merci d'avance !

    -----


  2. #2
    Tryss2

    Re : Notions des fonctions dérivées

    C'est plutôt pas mal. Ceci dit :

    Pour la partie 1. question 3 a), tu as oublié des solutions. f(0)=0, mais il y a d'autres valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0.

    Et ta réponse au b) est étrange : tu as écrit la même chose qu'au a) : une erreur de recopie?

    soit l'opposé de f(x) ? Je ne comprends pas trop ce que je suis censée dire
    Et que veut dire "interpréter graphiquement le résultat obtenu" ? Il faut que je trace la fonction ?
    Les fonctions vérifiant f(-x) = -f(x) pour tout x sont appelées fonctions impaires. Graphiquement, ça se traduit par une symétrie particulière de la courbe.

    Sinon, pour le 4, il doit y avoir une erreur d'énoncé (ou de recopie). C'est plutôt . Mais oui, il faut développer cette expression. Et ensuite se rappeller qu'un produit est nul si et seulement si un des facteurs (au moins) est nul

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