Relation de parité et nombres premiers jumeaux

[Malefix]

Bonjour à tous,

Soit et un couple de nombres premiers jumeaux tels que .
J'aimerais prouver qu'il existe une relation de parité entre et le reste de la division euclidienne de par , c'est-à-dire quand la première expression est paire l'autre l'est aussi et vice-versa, quand l'une des expressions est impaire l'autre l'est aussi.

Par exemple avec p1=11 et p2=13 on a donc pair et le reste de la division euclidienne de par est de 8, donc pair aussi.

J'espère que vous pourrez m'aider, je ne vois pas le lien entre les deux expressions.

Merci.
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[Médiat]

Bonjour,

soit n'est pas un entier, soit est pair

[Malefix]

Bonjour Médiat et merci pour ta réponse.

L'addition de deux nombres premiers jumeaux est toujours un multiple de 12 (c'est un résultat déjà connu que je n'ai pas démontré). Par contre peut très bien être impair, par exemple

[Médiat]

3+5 n'est pas divisible par 12.

Effectivement j'ai fait une assomption fausse (que p1 était congu à -1 modulo 4 et p2 à 1 modulo 4, mais cela peut être le contraire)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Malefix]

Effectivement pour 3+5 ça ne marche pas, j'ai oublié de préciser que c'était à partir de 5+7.

Sinon je n'ai aucune idée du niveau de la démonstration que je cherche à établir (la relation de parité).

[Médiat]

Vous pourriez regarder le résultat suivant :

Pour tout entier p1 ≥ 2, le couple (p1, p2) est constitué de nombres premiers jumeaux si et seulement si 4[(p1 - 1)! + 1] + p1 est divisible par p1p2

[Malefix]

Merci je vais regarder ça.