Lieu d'un point

[tatave94]

Bonjour,


On donne 4 points*: A, B, C, D, tels que AB et CD perpendiculaires à (D) (voir figure) on suppose que BC et AD sont des élastiques et donc que AB et CD peuvent se déplacer librement le long de (D), restant toujours perpendiculaires à celle-ci.

J'aimerais démontrer à ma petite fille pourquoi le lieu de P (point rouge) est une parallèle à la droite (D) : (D')*!!... mes souvenirs de maths sont hélas tellement loin …..

(si le "petit crobard" n'est pas clair, je vous renvoies qqchose de plus "clean" !!)


Merci pour votre aimable coopération*!, bonne journée.
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[gg0]

Bonjour.

Il suffit d'appliquer deux fois le théorème de Thalès. Cela démontrera que la droite parallèle à (D) passant par P est une droite fixe, car située à une distance fixe (calculable en fonction de AB et CD).
Cela n'explique pas vraiment pourquoi, mais justifie que c'est le cas.

Cordialement.

[tatave94]

Bonjour gg0,

Ouiiiiiiiiii ... exact, celà montre que (D') est parallèle à (D),
Mais, vous avez raison, cela n'explique pas vraiment pourquoi le lieu de P est la droite (D')

Je suis tatillon, mais y a t'il un moyen de prouver que (D') est le lieu de P .... svp ?

[invite75748033]

O K tatave 94 que je salue.
Mon compte n"'étant toujours pas clos...je te réponds en vitesse
D'abord le cas où AB = CD là tu auras un rectangle et il est clair que AP= 1/2 AD en vecteurs et donc P est l'image de D par l'homothétie de centre A de rapport 1/2 et comme D va décrire une droite, l'image d'une droite étant par une homothétie une droite parallèle , P va décrire une droite passant par P milieu de [AD)

Puis le cas que tu représentes CD <AB

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite75748033]

dans ton cas avec Thalès on a PA/PD = AB/CD = k différent de 1 bien sûr et alors AP = k PD en vecteurs ou AP = k( PA + AD) donc ( 1+k) AP = k AD et AP =k/(1+k) AD ce qui prouve que P est l'image de D par l'homothétie de centre A de rapport k/(1+k) et comme D décrit la droite ( D ) alors P est l'image de cette droite qui sera la droite parallèle à ( D' ) parallèle à (D) et passant par P défini ci-dessus pour une position de D donnée .

[invite75748033]

en somme ma dernière intervention vaut pour la première où k = 1 , on retrouve mon raisonnement où AB = CD .
Sinon il y a le procédé: analyse synthèse où l'on montre d'abord que pour une position de D donnée il lui correspond P dont la position sera déterminée avec Thalès et inversement en prenant un point sur la droite passant par ce point P et parallèle à (BD) il lui correspondra un point un point D répondant à ton problème .

[gg0]

Tatave94 : "Je suis tatillon, mais y a t'il un moyen de prouver que (D') est le lieu de P "
Oui, il te reste à écrire cette démonstration :
"Analyse : Si P est un des points, alors ... P est sur la droite (D') définie par ...
Donc tous les points sont sur la droite (D')
Discussion : Soit P un des points de la droite (D'). Je construis le segment [AB] du même côté que P de la droite (D). Puis ... donc P est un des points du lieu cherché.
Conclusion : (D') est le lieu des points d'intersection de (AD) et (BC)."

Je t'ai laissé un peu de travail, tu as le droit de participer.
Cordialement.

[tatave94]

Un GRAND MERCI à tou(te)s ...... j'm'en vais décortiquer tout ça tout ça !!!!
Bonne soirée.

[tatave94]

Bonjour à Tou(te)s*?

Après des études supérieures dans les années …. 1970, je me fais un devoir d'essayer de réactiver toutes ces neurones ...un brin fatiguées*!!, pas une mince affaire*!.
Avec votre aide, je vais donc essayer de résumer en 3 lignes ce pb d'homothétie*:

Thalès, dans les triangles ABP et CDP nous permet d'écrire*: CD/AB=PD/AP=k= constant (pour un croquis donné)

D'autre part, l'homothétie de centre A, de rapport k transforme donc la droite (D) en la droite (D'), parallèle à cette dernière. P se déplaçant sur (D'), celle-ci est donc le lieu du point P.

Est-ce correct*?
MERCI encore

[gg0]

Pas tout à fait. Tu n'as fait que la partie analyse de mon message #7. Tu as prouvé que le lieu de P est contenu dans la droite, pas que c'est la droite.

Cordialement.

[tatave94]

Oui, j'ai oublié la réciproque , non ? .... :

Discussion :
Soit P' un des points de la droite (D'). Je construis le segment [A'B'] du même côté que P' de la droite (D). Puis je trace B'C et constate que B'C passe par P' ... donc P' est un des points du lieu cherché.

[gg0]

"Puis je trace B'C" ?? Qui est C ? Et pourquoi dis-tu à la fin que "P' est un des points du lieu cherché" ?
Rappel : les points du lieu sont définis de façon précise. P' n'en fera partie que si on peut l'obtenir de cette façon précise.
Cordialement.

[tatave94]

Discussion :
Soit P' un des points de la droite (D'). Je construis le segment [A'B'] tel que [A'B']=[AB] perpendiculaire à (D) du même côté de P' que la droite (D). B', P', C sont alignés.
Thalès montre alors que, dans les triangles A'B'P' et P'CD*: CD/A'B'=P'D/A'P'=P'C/P'B'=k= constant.

En particulier*: P'D/A'P'=k donc P' appartient à la droite (D') préalablement définie comme homothétique de (D) dans l'homothétie de centre A

Est-ce mieux ??https://forums.futura-sciences.com/i...ilies/mad2.gif

[tatave94]

..... homothétie de centre A' !!!!!!!!

[gg0]

"B', P', C sont alignés." Qui est C ? Si c'est le C d'un autre point P, il n'y a aucune raison qu'ils soient alignés (mets P' à 20 km de P).

[tatave94]

Comprends pô là !!! :

Soit P' un des points de la droite (D') .... mème à 20kms, B', P' et C seront forcément alignés

[gg0]

Dans un essai de démonstration mathématique, le mot "forcément" traduit une conviction en absence de preuve.

Reprenons : On suppose qu'au départ, on a fixé A, B, C et D, avec B et D sur la droite (D1) (D1 pour ne pas redonner le nom D). On prouve facilement que P est sur une droite (D') parallèle à D1 et dont la position ne dépend que des longueurs AB et CD et du côté de la droite où se trouvent A et C. Il y a d'ailleurs un problème dans ta preuve à ce propos, j'y reviendrai.

Discussion : Soit P' un point de la droite (D'). On veut montrer que P' est un point du lieu, c'est à dire qu'il existe des positions de [AB] et [CD] pour lesquelles P' est l'intersection de (AD) et (BC). Pour la clarté du propos, on ne notera pas les points correspondants avec les lettres A,B,C et D qui correspondent à des points déjà placés (*). Donc on prend un segment [A'B'] perpendiculaire à (D1), de même longueur que [AB] et du même côté de (D1). il faut définir maintenant un segment [C'D'] perpendiculaire à (D1), de même longueur que [CD] et du même côté de (D1) tel que P' sera l'intersection de (A'D') et (B'C').
Et en général, B', P' et C ne seront pas alignés, et d'ailleurs on s'en moque.
Je te laisse définir les points C' et D' et prouver que P' est bien l'intersection (ce que tu n'as jamais fait : tu démontrais "P' appartient à la droite (D')" après avoir pris comme hypothèse "Soit P' un des points de la droite (D')" !!

Revenons à la partie analyse : L'homothétie qui transforme (D1) en (D') n'a pas comme rapport k=CD/AB=PD/AP, mais comme rapport AP/AD=k/(k+1).

Cordialement.

[tatave94]

Bonjour gg0,
J'regarde ça ce W E et reviens vers vous !
Bonne journée