Salut à tous,
Je viens vous demander confirmation pour un petit exo :
Démontrez que pour tout n (entier naturel) 2^(6n+3)+3^(4n+2) est divisible par 17.
J'ai d'abord essayer de démontrer ça par récurrence, mais impossible de s'en sortir (pas moyen de sortir un 17 en facteur)
Du coup j'ai pensé aux congruences.
Voici donc ma démo :
Si 2^(6n+3)+3^(4n+2) est divisible par 17, alors 2^(6n+3)+3^(4n+2) est congru à 0 (modulo 17)
Je dresse alors le tableau suivant : (j'ai mis des couleurs pour montrer les nombres qui doivent être alignés)
n ..........................0 1 2 3
2^(6n+3)+3^(4n+2) 17 1241 91817 6880121
R (par 17) .............0 0 0 0
Est-ce qu'à partir de ce tableau j'ai le droit d'affirmer que 2^(6n+3)+3^(4n+2) est congru à 0 (modulo 17) quelque soit l'entier naturel n ?
Puisque par exemple, si je cherche le reste de la division euclidienne de 4^n par 7 (je donne un exemple qui n'a rien à voir avec l'autre) et que je dresse un tableau semblable, ce tableau présente des répétitions à partir de n=3. J'ai alors le droit d'affirmer que :
4^3n est congru à 1 (modulo 7)
4^(3n+1) est congru à 4 (modulo 7)
4^(3n+2) est congru à 2 (modulo 7)
On en déduit donc ce qu'il se passe pour tout n, à partir de seulement quelques valeurs de n.
Est-ce que je peux faire pareil pour l'exo avec la division par 17 ?
Je vous demande car ça me paraît tellement facile, qu'il doit y avoir un truc...
Merci,
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