TS Spé Maths : petite question d'arithmétique

[invite3a0844ce]

Salut à tous,

Je viens vous demander confirmation pour un petit exo :
Démontrez que pour tout n (entier naturel) 2^(6n+3)+3^(4n+2) est divisible par 17.

J'ai d'abord essayer de démontrer ça par récurrence, mais impossible de s'en sortir (pas moyen de sortir un 17 en facteur)

Du coup j'ai pensé aux congruences.

Voici donc ma démo :

Si 2^(6n+3)+3^(4n+2) est divisible par 17, alors 2^(6n+3)+3^(4n+2) est congru à 0 (modulo 17)

Je dresse alors le tableau suivant : (j'ai mis des couleurs pour montrer les nombres qui doivent être alignés)

n ..........................0 1 2 3
2^(6n+3)+3^(4n+2) 17 1241 91817 6880121
R (par 17) .............0 0 0 0

Est-ce qu'à partir de ce tableau j'ai le droit d'affirmer que 2^(6n+3)+3^(4n+2) est congru à 0 (modulo 17) quelque soit l'entier naturel n ?

Puisque par exemple, si je cherche le reste de la division euclidienne de 4^n par 7 (je donne un exemple qui n'a rien à voir avec l'autre) et que je dresse un tableau semblable, ce tableau présente des répétitions à partir de n=3. J'ai alors le droit d'affirmer que :
4^3n est congru à 1 (modulo 7)
4^(3n+1) est congru à 4 (modulo 7)
4^(3n+2) est congru à 2 (modulo 7)
On en déduit donc ce qu'il se passe pour tout n, à partir de seulement quelques valeurs de n.

Est-ce que je peux faire pareil pour l'exo avec la division par 17 ?


Je vous demande car ça me paraît tellement facile, qu'il doit y avoir un truc...


Merci,
++
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[Gwyddon]

Salut,

Ton idée (les répétitions) n'est pas mauvaise en soi, mais là tu n'as rien démontré, tu as juste regardé pour n=0, 1, 2, 3 . Qu'est-ce qui te permet d'affirmer que pour n=4, par exemple, ça ne change pas ? Le démontrer c'est passer par une récurrence, et on en revient à ton problème de départ...


La bonne méthode est effectivement la congruence, mais là tu ne l'as pas du tout appliquée.

Tu remarques volontiers que 2⁶ⁿ⁺³= 8²ⁿ⁺¹
De même, 3⁴ⁿ⁺²=9²ⁿ⁺¹.

Quel est le reste modulo 17 de 8²ⁿ ? De 9²ⁿ ?

Ensuite, n'oublie pas que la distributivité s'applique aussi pour les congruences

Avec tout ça, tu ne peux pas ne pas t'en sortir

[invite3a0844ce]

Bon ok, alors voilà ma démo :

On constate que 8^2n et 9^2n ont le même reste dans la division par 17.

Donc 8^2n est congru à 9^2n (mod17)

Or, 8 est congru à 8 (mod17) et 9 est congru à 9 (mod17)

On a donc 9*8^(2n+1) congru à 8*9^(2n+1) (mod17)
donc 9*2^(6n+2) congru à 8*3^(4n+2) (mod17)

On se ramène ensuite à la division euclidienne :
9*2^(6n+2)=17q+r
8*3^(4n+2)=17q'+r

2^(6n+2)=(17q+r)/9
3^(4n+2)=(17q'+r)/8

sommation membre à membre :
2^(6n+2)+3^(4n+2)=(8(17q)+8r+9 (17q')+9r)/72

2^(6n+2)+3^(4n+2)=(17(8q+9q'+r ))/72
2^(6n+2)+3^(4n+2)=17k avec k appartenant à N.

Donc 17 divise 2^(6n+2)+3^(4n+2).

C'est valable ou pas ?

[invite35452583]

A part le fait que cela ressemble un peu à un "comment faire compliquer quand on peut faire simple", la démo est globalement bonne. Deux points posent probléme :

On constate que 8^2n et 9^2n ont le même reste dans la division par 17.

2^(6n+2)+3^(4n+2)=(17(8q+9q'+r ))/72
2^(6n+2)+3^(4n+2)=17k avec k appartenant à N.

Le "on constate" est bani en démonstration mathématique (cela n'empêche pas que cela joue un rôle dans la prospective : c'est mieux de savoir ce qu'on a à montrer )
Tu dois savoir que si a et b sont congrus modulo p ainsi que c et d alors
a.c est congru à b.d modulo p.
On peut appliquer cela aux puissances
a² est congru à b², a^3 est congru à b^3... (je te laisse l'écrire proprement).

Le 2ème point : dans le cours de ta démo on a aboutit à (17(8q+9q'+r))/72 est un entier OK mais comment passe-t-on à ce nombre est de la forme 17 x un entier. Certes, c'est juste mais il manque l'argumentaire (du moins sur ton texte en ligne).

Maintenant comment faire plus simple (sans sortir toute la batterie de la théorie des congruences) :
tu as constaté que 8^(2n) et 9^(2n) sont congrus modulo 17 mais il y a répitition .
On tombe sur grosso modo deux valeurs a et b
2^(6n+3)+3^(4n+2)=8*8^(2n)+9*( 9^2n)
Avec seulement deux possibilités pour le dernier membre. Il suffit de vérifier l'une après l'autre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3a0844ce]

Le "on constate" est bani en démonstration mathématique (cela n'empêche pas que cela joue un rôle dans la prospective : c'est mieux de savoir ce qu'on a à montrer )
Tu dois savoir que si a et b sont congrus modulo p ainsi que c et d alors
a.c est congru à b.d modulo p.
On peut appliquer cela aux puissances
a² est congru à b², a^3 est congru à b^3... (je te laisse l'écrire proprement).

Le 2ème point : dans le cours de ta démo on a aboutit à (17(8q+9q'+r))/72 est un entier OK mais comment passe-t-on à ce nombre est de la forme 17 x un entier. Certes, c'est juste mais il manque l'argumentaire (du moins sur ton texte en ligne).

Oui c'est sûr que dans cette démo je n'ai pas été rigoureux, c'était juste pour vous la montrer dans les grandes lignes. Une fois rédigé, ce sera biensûr plus complet.

En tous cas merci pour votre participation !

++

[Gwyddon]

Comment faire encore plus simple :

8²ⁿ = 9²ⁿ (modulo 17)

Notons a la valeur commune (modulo 17).

On a donc 8²ⁿ⁺¹ + 9²ⁿ⁺¹ = a*(9+8) = a*17 modulo 17 et c'est fini

[invite3a0844ce]

Oui, d'autant plus qu'il y a un petit problème dans ma démonstration : 8q+9q'+r appartient à N, mais comment montrer que c'est divisible par 72 ? Car si (8q+9q'+r)/72 n'est pas un entier, tout tombe à l'eau...

Vous avez une idée ?