Trouver un cube?

[leg]

j'ai un petit problème à résoudre:
montrer que (2X³Y³) + (X - Y)² = A³ n'a pas de solution avec X, Y et A , entiers naturel non nul.

avez vous des idées géométriques ou autres..
merci .
-----

[invite6b1e2c2e]

Salut leg,

Ca me fait penser à des courbes elliptiques, bien sûr. Le problème est qu'évidemment ce n'en est pas une, même en regardant dans l'espace projectif.

Pas d'autre idée en ce moment,
__
rvz

[leg]

Salut leg,

Ca me fait penser à des courbes elliptiques, bien sûr. Le problème est qu'évidemment ce n'en est pas une, même en regardant dans l'espace projectif.

Pas d'autre idée en ce moment,
__
rvz

bonjour rvz
même avec (X³-Y³)² on ne trouve pas de cube , mais je n'arrive pas à le montrer.
et pourtant cela doit être démontrable en considérant que A et un carré donc un carré au cube.

géométriquement cela doit être un problème de surfaces..
raisonnement par l'absurde ..
raisonnement par les propriétés de la divisibilité..

[invitea3eb043e]

bonjour rvz
même avec (X³-Y³)² on ne trouve pas de cube , mais je n'arrive pas à le montrer.

Avec cette écriture, on trouve X^6 + Y^6 = A^3 ce qui est impossible d'après le grand théorème de Fermat.
Avec ton écriture première, et une formule non homogène, on ne voit pas de piste.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0f5c0a62]

j'essaierais a ta place un truc plutôt arithmétique du genre :

regarder pour XY <> 0, on cherche à montrer

(E) 2 + [(X-Y)² - A^3]/X^3*Y^3 = 0

en étudiant la divisibilité du quotient

idem pour A <> 0

dans un 2 ème temps je regarderais sur Y=X
E devient 2X^6=A^3 => X ou A non entier (voir démontration de la l'irrationalité de la racine cubique)

et ainsi exclure les cas ou X=Y et donc pouvoir écrire
(E) 1 + [2(XY)^3 - A^3]/(X-Y)² = 0

en étudiant encore la divisibilité du quotient

a priori on doit avoir 3 conditions distinctes pour 3 inconnues et j'espère des solutions qui vont bien partout sauf dans N.

Bon pour la suite il est tard et il faut que je rebosse mes manip de divisibilité.

comme je n'ai pas fini je ne peux pas te dire si cette piste est bonne
bonne nuit

[invite238f9661]

Bonjour, je penche moi aussi pour la solution arithmétique, dans le style de la démonstration que sqrt(2) n'est pas rationnel.

Par exemple prenons d'abord le cas "x et y de même parité": alors x-y est pair; donc a doit être pair; donc a^3 est divisible par 8; comme (x-y)^2 est divisible par 4, ca fait que 2x^3 y^3 est divisible par 4, donc x^3y^3 est pair, et donc avec notre hypothèse, x et y sont pairs.
On pose alors x=2x', y=2y' et on recommence....Au bout de quelques étapes (et un peu de réflexion) on tombe sur une équation identique à celle de départ, mais avec avec des a'', x'' et y'' strictement plus petits que ceux de départ.
On peut donc conclure qu'il n'y a pas de solution dans ce cas.

Je n'ai pas regardé si le cas "x et y de parité différente" se traite de la même façon...

[leg]

Bonjour, je penche moi aussi pour la solution arithmétique, dans le style de la démonstration que sqrt(2) n'est pas rationnel.

Par exemple prenons d'abord le cas "x et y de même parité": alors x-y est pair; donc a doit être pair; donc a^3 est divisible par 8; comme (x-y)^2 est divisible par 4, ca fait que 2x^3 y^3 est divisible par 4, donc x^3y^3 est pair, et donc avec notre hypothèse, x et y sont pairs.
On pose alors x=2x', y=2y' et on recommence....Au bout de quelques étapes (et un peu de réflexion) on tombe sur une équation identique à celle de départ, mais avec avec des a'', x'' et y'' strictement plus petits que ceux de départ.
On peut donc conclure qu'il n'y a pas de solution dans ce cas.

Je n'ai pas regardé si le cas "x et y de parité différente" se traite de la même façon...

bonjour à tous et un grand merci pour votre colaboration

a) j paul ok, pour le cas de x^6 + y^6 = a^6 =A^3 avec A étant un carré. mais ce raisonnement ne m'apporte rien, voila pourquoi il me faut le démontrer différement;
b) R bertouy et stibium
l'idée est ce que je recherche. donc si tu approfondis cela m'interresse.
stibium.
je pense que ta solution serait une des solutions valable car tu fais appel à la descente infinie de fermat.
X n'est pas égale a Y, ça , c'est sûr, et ensuite de parité différente une fois traité le cas X et Y de même parité ce que tu sembles avoir fait.
donc si je te résume on retomberait sur une équation plus petite ce qui nous contredit du fait qu'il ne peut exister une infinité de X,Y et A de plus en plus petit! alors cette équation et impossible! (pour X, Y et A de même parité.
Il faut alors le montrer pour X et Y de parité différente et premiers entre-eux. peux tu voir celà. car il serait important de savoir si ce cas se traite aussi de la même façon, si on retombe sur une équation plus petite avec x', y' et a' < X , Y et A .
(X-Y)² = V², impair donc A impair car 2XY est pair = (U^3)/2 ou le double d'un cube, et A = A^3 ou (a²)^3

il faudrait utiliser peut être, le fait que X et y sont aussi deux cubes (tout en sachant que la solution est impossible, mais voir si sous cette condition on arrive à une descente infinie de la même façon qu'avec X et Y pair).
A+

[leg]

Avec cette écriture, on trouve X^6 + Y^6 = A^3 ce qui est impossible d'après le grand théorème de Fermat.
Avec ton écriture première, et une formule non homogène, on ne voit pas de piste.

jean paul
une autre idée:
supposons que la première écriture existe, et avec X et Y de parité différente peut dans ce cas multiplier l'ensemble par un facteur commun :
a)
racine carrée d'un cube ou plus simplement par 8, ou 64 afin d'en avoir une infinité . de même parité donc pair ?
ce qui serait impossible si on montre qu'il ne peut y avoir ce types de solution avec X et Y pair ?
b)
par 125 ou encore par 25^3 pour en avoir une infinité avec X et y de parité différente mais X et Y ne serait pas premiers entre-eux
c)
supposons maitenant que je fasse de même en utilisant racine carrée de 8 que multiplie X^3, Y^3 et A^3 et la solution existe par supposition il est clair que cette deuxième solution ayant comme facteur commun: sqrt 8 existerait aussi , des lors on est en droit de supposer x'^3 , y'^3 et z'^3 sont > X^3, Y^3 et A^3 et non entier mais des racines carrées algébriques.
par conséquent comme tu le dits plus haut, impossible d'apres Fermat.
mais est ce que cette écriture c'est à dire cette solution >,
serait équivalente et de la forme x^3 + y^3 = a^3 ?

[leg]

jean paul
une autre idée:
mais est ce que cette écriture c'est à dire cette solution >,
serait équivalente et de la forme x^3 + y^3 = a^3 ?

en vérifiant je constate, que si je multiplie par sqrt 8 j'aurait a^3 entier et non carré
avec ((sqrt8)(X-Y))² non entier;
mais l'absence de solution de la forme première, entraine les racines carrées algébriques.

[invitea3eb043e]

Il serait intéressant de savoir si la démonstration du grand théorème de Fermat pour n=3 est très difficile. C'est ancien mais je ne connais pas la démarche.

[leg]

Il serait intéressant de savoir si la démonstration du grand théorème de Fermat pour n=3 est très difficile. C'est ancien mais je ne connais pas la démarche.

la démonstration a était faite par l.Euler , je sais qu'il y en a sur internet mais elle n'utilise pas à priori le cas que je cite;
mais il serait interréssant de le montrer justement sous cette forme pour ensuite, montrer le cas n=3 si l'on veut.
par contre il doit être assez facile de montrer que ta réponse a : x^6+y^6 = A^3 est impossible san faire appel au théorème de fermat
uniquement par un raisonnement par l'absurde si cette équation existe alors il y a une contradiction en effet:
on ne peut avoir racine carrée de y^6 entière = 2pq et racine carrée de A^3 algébrique car dans ce cas il en est de même pour sqrt X^6 = p²-q²où p² et q²sont obligatoirement deux entier donc p² + q² aussi,
alors si effectivement cette contradiction est valable la démo est élémentaire et toute simple
et dans ce cas si (2x^3y^3)+(x^3 - y^3)² = a^3 implique obligatoirement cette égalité x^6+y^6 = A^3 alors pour cette question c'est résolu!
reste la deuxième avec (X - Y)².
quel est votre avis ...?

[invite5fb20d44]

Salut, juste une petite idée : si on arrivait à prouver que l'équation a³-2b³=c² n'admet pas de solutions entières positives, alors ton équation non plus (a=A, b=XY, c=X-Y).

L'avantage de celle-ci est qu'elle est à variables séparées (je ne sais pas si ça se dit pour les diophantiennes).

Malheureusement, je ne sais pas si c'est vrai.

[invite5fb20d44]

Oubliez mon message précédent, c'est faux (a=3, b=1, c=5).

[leg]

Oubliez mon message précédent, c'est faux (a=3, b=1, c=5).

dommage, mais 2b³>2 car b³>1
mais aussi si b est impair, c est pair.
A+

[invite5fb20d44]

dommage, mais 2b³>2 car b³>1
mais aussi si b est impair, c est pair.
A+

Je ne comprends pas où tu veux en venir...

[leg]

Je ne comprends pas où tu veux en venir...

si X et Y sont impair : c =x-y est forcément pair donc ce ne peut être 5²
de plus si x et y = 1 et 3 alors b³ > 1,
d'où 2b³ et > 2
je ne vois donc pas comment 27 - 2 = 25 pourrait être un contre exemple à ta premiére remarque.
(Oubliez mon message précédent, c'est faux (a=3, b=1, c=5) soit a³ - 2b³= c².)

X et Y sont de parité différente donc b =xy est pair il ne peut être = 1 au minimum = 8 et 2b³=16 d'où, c=7, c²=49
on peut éliminer d'office 2b³=v²car v² + c² , je pense, ne pourrait donner un cube impair non carré .

[leg]

Avec cette écriture, on trouve X^6 + Y^6 = A^3 .

bonjour a tous
j p en réfléchissant sur ta réponse , voila ce que je trouve:
je suppose que tu fais allusion a: (x³)² = x⁶et idèm pour y, (y³)² = y⁶
d'où si (2x³y³) + (x³- y³)² = A³ est impossible pour A premier ! il faudrait que A soit un carré parfait!
car en effet cette écriture x^6 +y^6 = X² + Y²!
donc si X et Y sont deux cubes par exemple: 1 et 8, ou 8 et 27..etc A doit être un entier et surtout un cube =(a³)! de sorte que A³ = (a³)²
des lors x^6 + y^6 = a^3 n'a pas de solution dans n=3
tel que: (x²)³+(y²)³= a^3
ainsi que: (x²)³+ y³= a^3
ou encore: x³+(y²)³= a^3

non ? un avis merci.

[invite5fb20d44]

si X et Y sont impair : c =x-y est forcément pair donc ce ne peut être 5²
de plus si x et y = 1 et 3 alors b³ > 1,
d'où 2b³ et > 2
je ne vois donc pas comment 27 - 2 = 25 pourrait être un contre exemple à ta premiére remarque.

OK, j'ai compris, mais je n'ai donné qu'une première solution, il semble en exister une infinité (comme a=113, b=10, c=1075). Je n'ai pas dit qu'on obtiendrait forcément une solution à ton equation, lorsqu'on en avait une pour celle-là.

C'est juste que le raisonnement "Cette équation n'admet pas de solution donc l'équation de départ n'admet pas de solution" ne tient plus.

[leg]

OK, j'ai compris, mais je n'ai donné qu'une première solution, il semble en exister une infinité (comme a=113, b=10, c=1075). Je n'ai pas dit qu'on obtiendrait forcément une solution à ton equation, lorsqu'on en avait une pour celle-là.

C'est juste que le raisonnement "Cette équation n'admet pas de solution donc l'équation de départ n'admet pas de solution" ne tient plus.

ton raisonnement est juste, mais je viens de voir qu'en définitive avec ton idée cela ne sert pas à la relation que je voulais;
car ma première écriture , jean paul dit avec raison:
Avec ton écriture première, et une formule non homogène, on ne voit pas de piste. effectivement cela ne sert a rien d'autant plus que tu trouves une multitude de solutions à cette première formule.

d'où je dois garder cette formule; (2 x³ y³) + (^x3- y³)² = A³;
et montrer :a=A, b=x^3 y^3, c=x^3 - y^3 n'a pas de solution!

[inviteb47fe896]

Pour Leg : J'ai bien reçu le message. A la lumière de tous ces posts je comprends un peu mieux la question ; je vais donc y réfléchir. A bientôt

[invite5fb20d44]

d'où je dois garder cette formule; (2 x³ y³) + (^x3- y³)² = A³;
et montrer :a=A, b=x^3 y^3, c=x^3 - y^3 n'a pas de solution!

Si ça peut t'avancer (mais j'en doute), le problème initial est équivalent au système


La dernière ligne assure que l'on peut retrouver et à partir d'une solution de la première. Malheureusement, ça introduit une variable et une équation supplémentaires.

[invitec418c418]

Un outil très puissant pour ce genre d'équation est le théorème de la descente infinie : "Un suite infinie d'entiers décroissante n'existe pas". Comme l'a souligné Stibium, en traitant cette équation algébriquement comme il l'a expliqué, on va retomber sur l'équation de départ après diverses transformations de celle-çi. L'équation au final que l'on va trouver sera plus petite (décroissante) que l'équation de départ car elle aura subit des modifications (divisions etc ...). Interprétation -> On pourrait recommencer les mêmes transformations à partir de l'équation final et re-retomber sur l'équation de départ, et ce, à l'infini, et donc d'après le théorème de la descente infinie, on en conclus qu'il n'existe aucun x, y et A tel que 2XY + (X - y) = A.

[leg]

Un outil très puissant pour ce genre d'équation est le théorème de la descente infinie : "Un suite infinie d'entiers décroissante n'existe pas". Comme l'a souligné Stibium, en traitant cette équation algébriquement comme il l'a expliqué, on va retomber sur l'équation de départ après diverses transformations de celle-çi. L'équation au final que l'on va trouver sera plus petite (décroissante) que l'équation de départ car elle aura subit des modifications (divisions etc ...). Interprétation -> On pourrait recommencer les mêmes transformations à partir de l'équation final et re-retomber sur l'équation de départ, et ce, à l'infini, et donc d'après le théorème de la descente infinie, on en conclus qu'il n'existe aucun x, y et A tel que 2XY + (X - y) = A.

ok guillame
a)on est donc d'accord sur ce principe la question qui se pose alors:
cette descente est démontrable élémentairement ? car si vous confiemer ce cas sans utiliser la même démo que L.Euler.
b)
on montre aussi bien pour A carré parfait que pour A entier naturel non carré, élevé à la puissance 3
prenons le cas de (A²)³cette descente infinie indique l'absence de solution de l'équation en question, et aussi l'absence de solution tel que :X⁶+Y⁶= a⁶
soit l'absence de solution (x²)³+ (y²)³=(a²)³ mais qui n'est que partiel pour N=3
c)
mais alors ceci est tout aussi vrai pour les racines carrées algébriques des entiers élevés à la puissance 3; car pour la même raison il ne peut exister une infinité de racines carrées de plus en plus petites et la même propriété de descente infinie reste valable pour les racines carrées algébriques! non.. ?
merci de votre avis