[Optimisation]Je débute, je ne comprends rien

[invite77a86db2]

Bonjour tout le monde !
Je débute un cours d'optimisation, et je suis un peu paumé, car il y a des notions que je n'ai pas...
Je vais tâcher d'être assez rapide, et efficace.
Je dois calculer le gradient et le hessien de la fonction :

en

Je ne sais même pas calculer le gradient quand il y a deux dimensions, alors le hessien...
Je crois que le gradient, quand c'est du , c'est juste la dérivée de f, c'est ça ?

Merci d'avance de votre aide, ce n'est pas pressé, mais essentiel pour moi, pour pouvoir suivre la suite du cours !
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Le gradient est un vecteur. Quand il n'y a qu'une seule variable (x) ce vecteur est dirigé le long de l'axe des x, et sa longueur est effectivement la dérivée f'(x). Quand il y a deux variables (x,y) la composante du gradient suivant (x) est ∂f/∂x, cell suivant y est ∂f/∂y (dérivées partielles).

Le hessien est une matrice, symétrique:
H(f) =
[∂²f/∂x², ∂²f/∂x∂y]
[∂²f/∂y∂x, ∂²f/∂x²]

Voir Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix
(mais ça doit bien exister en français aussi...)

-- françois

[invite77a86db2]

Merci.
Ca signifie donc que mon gradient de f sera un vecteur de 2 composantes, l'un étant la dérivée de f suivant x, l'autre suivant y ?
Merci encore .

[invite6de5f0ac]

Merci.
Ca signifie donc que mon gradient de f sera un vecteur de 2 composantes, l'un étant la dérivée de f suivant x, l'autre suivant y ?
Merci encore .

Exactement.

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite77a86db2]

Toujours avec cette fonction :



Si je fais les dérivées partielles, en x puis en y, je dois trouver le vecteur :

Enfin, je crois...
Car ma TI-89 me dit :


Euh...
J'ai encore oublié un truc avec les dérivées, moi ??

[erik]

Quand tu différentie f(x,y) par rapport à x , tu dois considérer y comme une constante.
donc le terme y^2 est une constante, donc de dérivée nulle.

Ta calculatrice a raison

[invite77a86db2]

Bon, ben d'accord .
Merci.

Pour ce qui est du hessien, il me faut dire si au point (0,0) il est positif.
C'est une matrice symétrique, il me faut donc prouver que la matrice est positive.
Mais là, ce que j'ai trouvé pour le faire me paraît bien compliqué !
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice...finie_positive

Je dois vraiment faire tout ça ?
Oups, la matrice :

Et je dois prouver :

[invite77a86db2]

Bon, après avoir passé un week-end à la mer, je reviens afin de dire que le Hessien que je trouve en mon point (0,0) est :


C'est une matrice symétrique, pour dire que mon hessien est strictement positif en ce point, je fais comment ?

Merci d'avance...

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Si j'ai bien lu ton avant-dernier post, tu dois dire si le hessien est positif... pas prouver qu'il l'est!

Ici il ne l'est clairement pas (je n'ai pas vérifié tes calculs, je te fais confiance): il n'est que semi-défini positif, c'est-à-dire positif mais s'annulant ailleurs qu'à l'origine. Ici il est de rang 1, et s'annule sur la droite vectorielle dirigée suivant x (càd sur tous les vecteurs avec y=0).

-- françois