Suite/intégrale

[invite37c192d1]

Bonjour, je suis à la fin de mon dm de maths mais je n'arrive pas à faire les dernières questions, j'espère que quelqu'un pourra m'aider

Pour x>0
on a la suite de terme général Sn(x)= ∑ 1/(k^x)
de k=1 jusqu'à n

Les questions qui me gênent sont les suivantes:
* Etablir l'existence d'un réel l de [1;2] tel que si x appartient à ]0;l[ alors la suite de teme général Sn(x) diverge vers +∞ et si x>l alors la suite de terme général Sn(x) est convergente.
*Si x>0 et k entier naturel différent de 0, donner un encadrement simple de _k∫^k+1dt/t
*en déduire si x>0 et n entier naturel différent de 0 alors:
(1/(1-x))((n+1)^1-x-1)≤Sn(x)≤1+(1/(1-x)) ((n^1-x-1))
* en déduire la valeur de l

s'il vous plaît, merci
-----

[invitea8d97425]

Bonsoir,

Pour la première, pas d'idée comme ça. Par contre, la deuxième est hyper classique : il faut se servir de la décroissance de la fonction inverse et faire un dessin (où on voit bien qu'elle décroit ). La troisième découle directement de la seconde.

[invite455504f8]

Bonjour, je suis à la fin de mon dm de maths mais je n'arrive pas à faire les dernières questions, j'espère que quelqu'un pourra m'aider

Pour x>0
on a la suite de terme général Sn(x)= ? 1/(k^x)
de k=1 jusqu'à n

Les questions qui me gênent sont les suivantes:
* Etablir l'existence d'un réel l de [1;2] tel que si x appartient à ]0;l[ alors la suite de teme général Sn(x) diverge vers +? et si x>l alors la suite de terme général Sn(x) est convergente.
*Si x>0 et k entier naturel différent de 0, donner un encadrement simple de _k?^k+1dt/t
*en déduire si x>0 et n entier naturel différent de 0 alors:
(1/(1-x))((n+1)^1-x-1)?Sn(x)?1+(1/(1-x)) ((n^1-x-1))
* en déduire la valeur de l

s'il vous plaît, merci

pour la première question on peut utiliser la même technique que dans la deuxième:
la série converge pour x>1, donc pour
pour le voir, il suffit d'encadrer:
au passage la fonction de x limite est la fonction de Riemann