Intégrale et suite

[invite039a17bf]

Bonjour,

Je souhaite obtenir un peu d'aide..
j'ai Cn=intégrale(1/(1+x²/n))dx (de 0 à rac(n))
et Bn= intégrale((cost)^2n-2 dt) de 0 à rac(n)
je dois démontrer que Cn <= rac(n) Bn
Pour cela il faut que je fasse un changement de variable..

j'avais penser à x=sint* rac(n) mais après j'ai deux intégrale qui ne m'avance pas bcp plus, il faut que je trouve un autre changment de variabl... mais je trouve pas..si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de pouce...Merci

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[inviteeba7fcab]

et si tu posais x=sin(x/rac(n+x²) ??? le probeme c'est la borne supérieur!!

[invite5c27c063]

Je pense y être mais c'est pas très élégant...

Pour Cn, pas de pb, ça roule tout seul on pose , j'arrive à

Pour Bn, les règles de Bioche suggèrent de poser u = tan t Mais vu l'intervalle d'intégration, j'ai un scrupule...

On peut en revanche calculer l'intégrale facilement sur un intervalle de longueur (intégrale de Wallis). On peut alors minorer Bn grâce à la périodicité du et ce minorant a bien l'air supérieur à d'où le résultat

[invite039a17bf]

désolé mais je ne vois pas bien ce que tu veux dire..je n'arive pas jusqu'au bout...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c27c063]

Salut,

Je détailles un peu plus ce que j'ai fait...

Pour , je pense qu'il n'y a pas de problème... Pour arriver au résultat voulu, reste à montrer que

Je pose

En intégrant par partie on trouve une relation de récurrence qui permet de calculer : c'est l'intégrale de Wallis

Pour calculer , on écrit la division euclidienne de par

est minorée par l'intégrale calculée sans le reste de la division euclidienne (car cos^{2n-2}t >= 0) et l'intégrale sur le premier morceau s'écrit en fonction de grâce à la -périodicité de la fonction sous l'intégrale.

Au final j'arrive comme cela à minorer par une expression supérieure à ce qui me parait répondre à la question

Bon courage & bonne année