Salut à tous, depuis quelques heures maintenant, je me heurte à une décomposition en éléments simples que je n'arrive résoudre de maniere juste:
1) F(x)=(400*(2x²-1))/((x^4 - 1)²(x²+4))
La forme générale est donc:
F(x)= (A/(x-1)²) + (B/(x-1)) + (C/(x+1)²) + (D/(x+1)) + ((Ex+F)/(x²+1)²) + ((Gx+H)/(x²+1)) + ((Ix+J)/(x²+4))
Pour trouver les coefficients j'ai utilisé diverses méthodes:
- multiplication par (x-1)²
- multiplication par (x+1)²
- multiplication par (x²+4)
- multiplication par (x²+1)²
Grâce à cela, j'ai trouvé A=5,C=5, E=0, F=-100, I=0, J=16
J'utilise des valeurs particulieres pour avoir un systeme à 4 équations (vu que j'ai desormais 4 inconnues):
L'utilisation de la methode de la limite de F(x)*x donne un systeme: B+D+G=0
La valeur particuliere en 0 donne: -B+D+H= -14
J'utilise des valeurs particulieres en 2, -2
Le probleme est que je trouve:
B=0
D=-226/3
G=226/3
H=184/3
Graphiquement, la fonction décomposée ne correspond pas à la fonction de départ... Ai-je fais une erreur de raisonnement, ou, plus vraisemblablement, une erreur de calcul ?
2) Dans un autre exercice, on a des couples (A,B) de polynomes de R(x) verifiant
1-[A(x)]² = (1-x²)[B(x)]²
On doit determiner les polynomes A1, A2, A3 de R(x) pour que l'on ait:
A1 (cos TETA)= cos TETA
A2 (cos TETA)= cos 2 TETA
A3 (cos TETA)= cos 3 TETA
(TETA nombre réel.)
Cela correspond t-il à x= cos TETA et dans ce cas,
A1 (x)=x avec x=cos TETA et, par suite, A1(x)= arccos(cos x) ?
Je ne vois pas vraiment sous quel angle entamer cette resolution....
Merci d'avance de votre aide
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