Liens entre deux normes subordonnées

[invitea87a1dd7]

Bonjour,

Alors voilà dans cet exo, à la question 3.b, je n'arrive pas à exprimer P~ en fonction de N~

J'ai tenté de comparé par exemple avec
Et c'est là que je bloque, car j'ai essayé de montrer que c'était égal (donc égalité entre deux bornes sup), en montrant inférieur ou égale puis supérieur ou égal :


J'ai essayé de montrer que le premier ensemble était inclus dans l'autre, mais il y a le problème du ...(et on ne sait rien sur sa norme subordonnée)
Je voulais savoir si j'étais parti sur la bonne piste (à savoir l'égalité entre et ...

Merci
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[invitedef78796]

Salut, salut

Alors en fait je pense que tu n'es pas tout à fait sur la bonne voie ( n'est pas égal à ).

Pour trouver la bonne égalité, essaie de majorer par . Utilise pour cela l'inégalité fondamentale :



(tu peux utiliser cette inégalité avec la norme P ou N à toi de voir...)

Ensuite pour trouver l'autre sens de l'inégalité, réutilise le "quelquechose de constant" et pars de celui-ci pour le majorer.

[invitea87a1dd7]

Oki merci encore à toi IceDL
J'obtiens ça (les enchainements d'inégalités sont assez long, alors je les mets pas ici) :
d'une part,
et :


Mais comment obtenir une inégalité encadrant parfaitement P~ ?

[invitedef78796]

Le problème en fait, c'est que tu crois que ce qui n'est pas le cas (bon tu n'es pas loin du résultat en fait).

Je le verrais pluôt comme ça, prenons un X dans E fixé et regardons :



Mon idée, c'est de retomber sur une inégalité du style :



Il faut donc faire apparaître P(X) quelque part et du coup je tentes :



Qu'en penses-tu ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea87a1dd7]

Arf pas bête ! Merci
J'ai compris, en fait moi, j'ai majoré beaucoup trop fort, du coup j'avais des normes de U et de son inverse qui trainaient alors qu'il fallait les garder à l'intérieur des normes !
Donc on a ça :
Avec ton truc, on a :



Et pour l'autre sens de l'inégalité, on sait que

En remplaçant X par UX, on obtient :


Et donc sachant que P(UX)=N(X), on a :
comme plus petit majorant etc...

C'est bon ?

[invitedef78796]

Salut,

Oui voilà c'est tout à fait ça.

Bonne continuation pour ce DM

@+

[invitea87a1dd7]

Ok merci
Alors en fait j'ai quelques petits problème pour la suite.
Dans la question II.2, je trouve 1 pour la norme subordonnée à la norme infinie...mais je n'arrive pas le démontrer proprement. En fait j'obtiens une borne sup d'en ensemble contenant des max, qui sont tous strictement plus petit que 1.

Je pense que c'est égal à 1, car dans la question 4., pour montrer l'existence d'une norme N, j'ai posé :


D'où :
(d'après la première partie)
Or on a montré dans la question 3 que convergait vers
Et c'est là où est le problème :
- je dois montrer que est strictement plus petite que sa limite qui est égal à 1 et dans ce cas c'est terminé...
Mais je voudrais être sur que la norme subordonnée à la norme infinie de la question 2 était bien égal à 1.

@++

[invitedef78796]

Resalut,

Pour la question II.2, je penses que tu fais fausse route : tu ne trouves pas étrange que la valeur de la norme subordonnée de la matrice diagonale ne dépende pas de la matrice en cause (que vaut la norme subordonnée de la matrice nulle ?).

Cherche un lien simple avec les valeurs propres !

A plus

[invitea87a1dd7]

On a bien :

Et on a :

Dont la norme infinie est égale à :


Jusque là c'est bon non ?

[invitea87a1dd7]

Donc d'après la question 1, on a :

Car la norme sub. à la norme infinie de delta est plus grande que tous les coefficients diag, donc plus grande que leur max.
Mais ensuite ?

[invitea87a1dd7]

Pour l'autre sens de l'inégalité, j'ai constaté qu'on avait :


Et donc que

Donc en fait :

Mais pour la question 4 alors, il faut choisir une norme et comparer sa norme subordonnée à 1...

[invitea87a1dd7]

Bon pour la question 4, je crois que c'est bon, mais je sais pas comment rédiger. En fait, on a une égalité pour tout p, mais peut-on passer à la limite comme ça, et dire que c'est vrai pour p aussi grand que l'on veut ?

[invitea87a1dd7]

Bon encore moi
je n'arrive pas à rédiger la question III.1)
Je vois bien qu'il faut montrer que 0 est la seule solution, (si la solution existe), mais comment faire ?

(C'est 0, car pour la suite on doit montrer l'injectivité de In-A donc la bijectivité )

Et aussi pour la dernière question, je ne vois pas du tout le sens difficile (gauche vers droite) de l'équivalence...je crois qu'il faut justement utiliser toute la partie II

Merci

@++