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De d'Alembert à Cauchy



  1. #1
    Mademoiselle Chloe

    De d'Alembert à Cauchy


    ------

    On me demande de montrer que:
    lim Un+1/Un = a => racine énième de Un = a également.
    On ne me donne aucun autre indice.

    Je me suis dit que le comportement de Un ressemblait à l'infini à une série géométrique de raison a mais je ne sais pas comment continuer puisqu'on est en limite.
    à l'intuition je me dit que ca donnerait quelque chose de ce genre:
    Un= a^n ...
    et donc racine nieme de Un=a
    c'est peut etre une tres mauvaise intuition

    -----

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  3. #2
    doudache

    Re : De d'Alembert à Cauchy

    Salut !

    Connais-tu ce petit résultat (appelé lemme de Cesaro) qui dit que si une suite vn tend vers a, alors la moyenne des vi (comprendre 1/n(v1 + ... + vn) tend aussi vers a ?

    C'est un très bon exercice que d'essayer de le démontrer. Une fois que tu auras fait ça, essaie de l'appliquer à ton exercice.

    Bon courage !

  4. #3
    tize

    Re : De d'Alembert à Cauchy

    donc il existe tq pour tout donc aussi pour tout k>0 :

    .
    En multipliant toute ces valeurs pour k variant de 1 à n, on à après simplification des numérateurs et dénominateurs :

    puis on multiplie par et on passe à la puissance 1/n...le tour est joué
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  5. #4
    Manu87

    Re : De d'Alembert à Cauchy

    Et que se passe-t-il si Un+1/Un -> +oo ou 0???
    Ca marche aussi???

    Sinon, je suis surement un boulet mais moi le tour n'est pas joué quand je mets tout à la puissance 1/n..Je me retrouve avec une inégalité avec U(N+n+1) au milieu...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    The Artist

    Re : De d'Alembert à Cauchy

    Si |Un+1/Un| -> L avec 0<L<1 alors (Un) converge vers 0
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

  8. #6
    The Artist

    Re : De d'Alembert à Cauchy

    Et |Un+1/Un|>1 alors (Un) converge vers +oo
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

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  10. #7
    Manu87

    Re : De d'Alembert à Cauchy

    oui, ca je sais, je me suis sans doute mal exprimé!

    La question est:
    Qu'est-ce que je peux dire de Un+1/Un (resp+00) quand n-> +00?
    Et à partir de çà, il faut déterminer les limites des suites:
    (n!)^(1/n) et 1/n*(n!)^(1/n) quand n-> +00

  11. #8
    Manu87

    Re : De d'Alembert à Cauchy

    J'arrive pas à editer donc je double post...
    J'ai oublié de dire que j'ai montré avant que si 0<L<+00,
    Si Un+1/Un->L, alors Un^(1/n)->L (mais avec une autre méthode que dans les posts ci dessus mais avec les séries de t.g b^n/Un et Un/c^n où0<b<L<c)

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