Integrales de quotient de polynomes.

[rouxc]

Bonjour a tous.

Nous venons de terminer les integrales pour ce premier semestre et on est donc passés par les integrales de quotient de polynomes :

Lorsque le numerateur P(x) a un degré plus grand que celui du dénominateur Q(x), il s'agit d'abord de faire une division euclidienne avec les deux polynomes. Pas de probleme pour ca.
Une fois que l'on s'est ramener a P(x)<Q(x), il faut factoriser Q afin de pouvoir decomposer le quotient en elements simples. Et c'est la que le prof a ete plutot evasif.

Comment fait-on pour factoriser le denominateur ?
Il a donné 2 expressions qui correspondent a deux formes de factorisations pour Q(x)=x³ + ax² + bx + c :

- Q(x) = (x - A₁)(x - A₂)(x - A₃)
ou
- Q(x) = (x-A₁)(x² + Bx + C)

Le truc c'est que je ne sais pas du tout comment calculer tous les termes qui accompagnent les x .


Bref. Auriez-vous une methodes sure pour factoriser le dénominateur ?


Merci d'avance !

Cordialement.
Clément.
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[GuYem]

Salut

D'une manière générale, pour factoriser un polynome de degré 3, il faut commencer par chercher une racine A_1 "évidente". Par "évidente" on entend le plus souvent entière entre -2 et 2. Du coup tu peux factoriser ton polynome par X - A_1. Ensuite il ne te reste plus qu'à faire du discriminant sur le deuxième facteur pour terminer la factorisation.

Pour être plus rapide, essaye de voir si tu ne peux pas trouver trois racines "évidentes" !

[rouxc]

Okéoké, kapito.

Donc les termes B et C du polynome de degré deux dans la deuxieme forme de factorisation correspondent donc a ses deux racines ?

Et comment je peux savoir si je doit choisir la premiere ou la deuxieme forme ? Je pensais que la premiere forme s'appliquait a la seconde dont le polynome est encore factorisable. C'est ca ?


Re Merci d'avance ^^ .


Cordialement.
Wielfried?

[invite6de5f0ac]

Et comment je peux savoir si je doit choisir la premiere ou la deuxieme forme ?

Bonjour,

En fait il vaut mieux avoir autant de pôles simples que possible. Mais comme un polynôme de degré 2 peut ne pas avoir de racines réelles, des fois il faut bien admettre des polynômes de degré 2 au dénominateur.

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[rouxc]

Impec !

Me reste plus qu'a en faire une petite dizaine et je pense qu'apres ca je serais rodé .

Merci a vous en tout cas.

[rouxc]

Rebonjour.

Apres moultes exercices, il s'avere que je bloque sur un type de quotient en particulier.
Exemple :

primitive de 1/(4x²-4x-3)

Le dénominateur est non factorisable. Faire apparaitre la derivée au numérateur ne servirait a rien ici. Effectuer un changement de variable pour retrouve la derviée de la tangente ne fonctionne pas.

Bref, comment qu'on fait ?

[inviteaa287013]

Bonjour, bonjour.

Je vais te donner la méthode que j'utilisais dans ces cas la. Tout d'abord factorise ton coefficient 1/4 de ton equation. Tu obtiens alors quelque chose du type 1 / (ax²+bx+c).

Ensuite tu utilises la forme canonique. Donc tu mets ton polynôme de la forme (x-d)² - e² .
A partir de là, il existe une intégrale, pas vraiment usuelle mais qui fonctionne à merveille :

int(1 / {x² - a²}) = 1/{2a} * ln( | {x+a} / {x-a} | ).

Il te suffit de remplacer ton x par x-d et a par e.
J'espère n'avoir pas été trop compliqué. Mais si tu coinces n'hésites pas à demander.

[azt]

Bonjour,

Pour 4x²-4x+3 , il faut factoriser en utilisant les complexes. (Erreur de copie , non ? car 4x²-4x-3 se factorise).

4x²-4x+3 = (2x-1+i racine(2)) (2x-1-i racine(2))
Pouvoir intégrer cette formule nécessite de connaitre le logarithme complexe.

[inviteaa287013]

C'est vrai azt que je ne me suis même pas posé la question de la factorisation ou non. Et en ce qui concerne, le logarithme complexe, c'est hors de ma portée. Après tout je ne suis qu'un humble physicien...

[rouxc]

Idem Eorlingas, Azt. Le logarithme complexe, tres peu pour moi. D'autant plus que pour le moment, on ne s'interesse pas au racine complexe pour les cas comme celui la. Merci quand meme .


Si j'utilise ta methode Eorlingas, on obtiendrais :

int[1/(4x²-4²-3)]

= 1/4*int[1/((x-1/2)²-1)]
= 1/8*ln[x/(x-2)]


C'est bien ca ? Si c'est ca, je suis preneur ! Vachte pratique comme methode ^^ .


Cordialement.
Clément.

[inviteaa287013]

Il y a juste une toute petite erreur: dans le logarithme on x+1/2 sur x-3/2, le tout en valeur absolue. Mais sinon c'est ca.
Mais bon comme l'as fait remarquer Azt, le polynôme à des racines réelles, dont 3/2. Du coup ca ne fonctionne pas. La méthode que je t'ai indiqué fonctionne seulement pour un polynôme n'ayant pas de racines réelles.

[rouxc]

1/2 et -3/2 ?

Mais dans le logarithme c'est (x+e)/(x-e) ou (x+d)/(x-d) ? Car c'est quand on prend d que l'on obtient 1/2 et -3/2. Or tu m'avais dit de prendre e.

Verdict ?

[inviteaa287013]

Lol

Je crois avoir compris d'où venait ta question. Je me suis en effet mal formulé mais c'est bien e qu'on utilise.

Le a du logarithme correspond bien à e. On a donc
ln({x+e}/{x-e}) mais, le x n'est pas le même que le précédent. Le x correspond à ce qu'il y a à l'intérieur du premier carré soit x-1/2.

D'où le (x-1/2 +1) / (x-1/2 -1).

[azt]

Après réflexion, on peut toujours passer par la forme canonique de polynôme quand le numérateur vaut 1.
Après avoir présenté l'intégrale sous la forme :


et mis U(x) sous forme canonique,



De manière générale, sauf erreur, on a :


En passant par le logarithme complexe, les calculs sont plus simples car on recombine les termes entre eux pour trouver des arctangentes; Mais bon, on peut quand même se passer des complexes ici

Ps : désolé pour le K' il n'est pas très lisible, et pour les dx, je n'arrive pas à bien les mettre.

[inviteaa287013]

Pour être sur à tous les coups, utilise les formules d'Azt, car elle présente tout les cas. Pour la mienne, lorsque qu'on a un + au dénominateur, ce n'est plus un ln qu'ilo faut utiliser mais un arctan avec des termes différents à l'extérieur et à l'intérieur.

Mais en faisant une recherche sur internet tu dois pouvoir retrouver ces formules.