DM : famille d'équations différentielles

[lexxx]

bonjour a tous,

voila j'ai commencer mon devoir de math mais j'ai un petit soucis de compréhension. Voila l'enoncer

On considère la famille d'équation différentielles:
(Em) : y" + (2m+1)y' + 2my = e^-2x

On appelle fm la solution de (Em) dont la courbe Cm est tangente à l'axe des abscisses au point O, origine du repère.

Déterminer les fonctions fm pour m appartient {-1;1/2;1} puis representer les courbes Cm au voisignage de O.


moi j'ai écris les 3 équations qui correspondent aux valeurs de m puis j'ai recherché les solutions.

Seulement pour m=1 je ne trouve pas la solution particulière et pour trouver les solutions fm il faut ,je pense, s'aider de la phrase soulignée.

pouvez- vous m'aider SvP?
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[kron]

Tu as cherché des solution sparticulières sous la forme
exp(-2x)*P(x)
où P est un polynôme de degré k, où k est l'ordre de -2 en tant que racine de l'équation caractéristique.

[lexxx]

non . pour les deux autres j'ai mis coefficient qui sont bien tomber . je ne connais pas cette méthode.
pour m=-1 j'ai trouver une solution particulier SP = 1/2 e^-2x
et pour m=1/2 SP= e^-2x

peux tu me donner plus d'infomation sur cette méthode?

[Gwyddon]

L'idée est la suivante : quand on dérive une exponentielle, celle-ci est encore là après dérivation.

Donc ici dans ton second membre il y a e^-2x, ce qui laisse penser qu'une solution particulière comporte e^-2x. La première tentative à faire est de mettre devant cette exponentielle un polynôme, généralement du 1er ou du 2e degré. Ici le premier degré ne marche pas (pour m=1 je veux dire), donc tu essayes de voir au degré suivant si ça marche ; et sinon le degré trois, etc...

[A voir en vidéo sur Futura]

[lexxx]

donc je choisi un polynome ax²+bx+c
on a (ax²+bx+c).e^-2x
apres je dois dérvier?

[lexxx]

et faire dans le cas où il s'agit d'un polynome au second membre?

[lexxx]

SVP donner moi plus de precision je n'y arrive pas

[lexxx]

voila ce que j'ai compris corriger si je me trompe

y" + 3y' + 2y = e^-2x

je fais un changement de variable g(x) = Z(x).e^-2x
j'ai donc : z" + z' = 1
d'où Z(x)=x
ma solution particuliere serai donc x.e^-2x
g(x) = x.e^-2x
g'(x) = e^-2x - 2x.e^-2x
g"(x) = -4.e^-2x + 4x.e^-2x

lorsque je remplace je trouve -e^-2x

[Gwyddon]

Le changement de variable est une bonne idée. Par contre, l'équation sur z est fausse, on obtient plutôt z" - z' =1 (tu as dû faire une petite erreur de calcul).

Tu obtiens donc la solution particulière g(x) = -x e^-x.

Ceci explique pourquoi ta vérification avait échoué

[kron]

Si tu ne trouves pas le bon résultat, c'est qu'il y a une coquille quelque part
Alors en gros, quand tu dérives un polynôme * une exponentielle,
tu trouveras encore un polynôme de même degré* l'exponentielle.
Donc en jouant avec les coefficients tu devrait pouvoir trouver une solution de ton équadiff.

Je suis plus sur de la théorie pour savoir quel degré de polynôme cherche, donc je veux pas dire de betises, mais tu peux essayer avec un polynôme du 2nd degré, ça devrait marcher.

Pas besoin de changement de variable,
Tu suppose (ax²+bx+c)*exp(-2x) solution, tu dérives une fois puis deux, tu injectes dans ton équadiff, ettu identifies les coeffs en égalisant avec le second membre.

Edit : Téléscopage avec Gwyddon, bon, qui a a priori pus d'expérience que moi. Donc le chagement de variable doit être bon

[lexxx]

merci je me suis rendu compte en recopiant sur ma feuille

cependant j'ai un autre soucis. On me demande une solution de chaque équations et normalement on résoud avec les condition initiale.

Dans l'énoncé on dit les solutions represensent des courbes qui elle-meme sont tangentes a l'axes des absisses.
cela veut-il dire que f'(x)=0?

[Gwyddon]

Tout à fait

Et ça veut dire autre chose aussi , qui peut t'être utile (car pour déterminer de façon univoque la solution d'une équation du deuxième ordre, il te faut deux conditions initiales) ; si la courbe est tangente à l'axe au point O, que peux-tu dire de f(0) ?

EDIT : non kron tu n'es pas si à la masse que ça En effet lexxx tu as été un peu rapide dans ton affirmation, cela veut dire f'(0) = 0, ce n'est pas vrai pour tout x...

[kron]

Non ça veut dire qu'il existe un point (notons le x₀) tel que :
f(x₀)=0
f'(x₀)=0

Edit : kron, toujours à la masse... encore séché par Gwyddon

[lexxx]

merci beaucoup pour votre aide

[armor92]

Pour m = 1 L'équation différentielle donne :
y'' + 3 y' + 2y = exp(-2x)
Une solution paticulière de l'équa diff est :
y(x) = -x * exp(-2 x)
La solution générale est donc :
y(x)= A * exp(-x) + (B - x) * exp(-2x)
fm est la solution de (Em) dont la courbe Cm est tangente à l'axe des abcisses eu point O. Cela veut dire que :
fm(0) = 0 ey fm'(0) = 0

Ceci donne le système à résoudre :
A + B = 0
-A - 1 -2B = 0

Ce qui donne A = 1 et B = -1

Pour m = 1, on a donc :
fm(x) = exp(-x) - (1 + x)*exp(-2x)

[Gwyddon]

Merci armor mais le but sur ce forum n'est pas de donner des réponses toutes cuites, c'est plutôt d'amener la personne qui pose la question à trouver par lui-même la réponse en le guidant