Une jolie petite famille d'équations

[Bleyblue]

Bonjour,

Je me suis intéresser aux équations différentielles ordinaires linéaires homogènes d'ordre deux de la forme :



Selon un théorème démontré dans mes notes l'ensemble S des solutions forme un espace vectoriel de dimension 2 donc si je trouve deux fonctions de l'espace vectoriel qui soient solution de l'équation de départ et linéairement indépendantes j'aurais une base de S c'est à dire la solution générale de l'équation différentielle

Si j'essaye avec y = x^k (x réel, k un nombre complexe (éventuellement réel) )

Je n'ai jamais fait d'analyse complexe mais je suppose que je peux admettre :

y' = kx^{(k - 1)}
y" = k(k - 1)x^{(k - 2)}

Du coup en réinjectant dans l'équation de départ on tombe sur :



Soit

1) Si P(k) possède deux racines réelles k1 k2

On a donc y₁ = x^k1, y₂ = x^k2

et je vérifie que les solutions y1,y2 sont linéairement indépendantes et j'ai donc la solution générale :



2) Si P(k) possède deux racines complexes conjugées u + vi et u - vi

La solution générale (dans R) est donnée par :



Etant entendut que :

je développe et je tombe sur :



3) Si p(k) possède une racine réelle

Ici par contre je suis bloqué. Qu'est ce que je peux bien faire avec une seule solution à l'équadiff ? Il m'en faut deux pour trouver la solution générale.

Si y = x^k1 est solution savez-vous comment je dois faire pour en trouver une autre ?

merci
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[invitef45cc474]

Salut
Cette équation porte le nom d'équation d'Euler il me semble.
Première chose, l'ensemble des solutions définies sur R n'est pas de dimension 2: le théorème de Cauchy linéaire ne s'applique pas sur R tout entier ici car on ne peut pas diviser par x² (le coefficient de y'').
Mais si on résout sur ]0,+oo[ (ou sur ]-oo,0[) ce que tu dis marche parfaitement.
Et pour trouver une autre solution dans le cas où ton polynôme P n'a qu'une racine, tu peux essayer x -> ln(x)x^k1
(ça vient du fait qu'on se ramène par un changement de variable à une équation linéaire à coefficients constants, dont la solution générale dans le cas où le polynôme caractéristique a qu'une seule racine est du type x -> (A+Bx)exp(k1x) )

[matthias]

Tu peux essayer y = ln(x).x^k1

Je te rassure ça ne sort pas de nulle part. Il suffit d'utiliser la variation de la constante.

[EDIT : devancé par supernico, avec une autre méthode ]

[Bleyblue]

Ah oui effectivement il s'agit des équations différentielles d'Euler-Cauchy (http://web.gci.ulaval.ca/PIIP/math-a...html/th26a.htm)
que j'ai en fait redécouverte par moi même !

C'est génial !

Bon je vais voir ça, en tout cas ça fait un type d'équation différentielle en plus que je sais résoudre, c'est bien

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Mes calculs pour le cas 2 racines réelles et 2 racines complexes sont justes

C'est fantastique, probablement la plus belle chose que j'ai jamais faite en math, découvrir tout seule un type d'équation différentielle qui existe déja et constater que mes calculs sont justes

merci