Algebre-quotient

[Quinto]

Salut,
je me pose quelques petites questions à propos des structures quotients.
Par exemple il est clair que nZ est maximal dans Z si et seulement si nZ est premier dans Z.
Notamment on a que Z/nZ est integre si et seulement si Z/nZ est un corps. Cela provient de la finitude de l'anneau

quotient.

Si maintenant on change d'endroit, et que l'on prend un anneau A. Je me demandais ce qu'il faudrait imposer sur A

pour que pour tout idéal I de A, A/I soit fini. Notamment on aurait la même propriétés que pour Z. Le cas A fini

semble évident. Mais après?

Une autre question,
si on prend A=R[X]/<x²+1>,
Tout élément s'écrit ax+b avec a et b réel et on a également x²+1=0. En particulier, x²=-1
Ainsi, si je prend 2élements u=ax+b et v=cx+d on a
uv=vu=(ax+b)(cx+d)=acx²+(bc+ad )x+bd=(bd-ac)+(bc+ad)x
On a clairement que C est isomorphe à A.

Je me demandais ce qui se passerait si on prenait un polynome P quelconque de degré n supérieur a 1, mais qui n'admet pas exactement n racine réelles, et que l'on quotientait R[X] avec I=<P>, est ce que l'on aurait également un corps isomorphe à C.
Il faudrait déja pour cela que I soit maximal, mais après???

Si quelqu'un a des idées ou des pistes de reflexion sur le sujet, ca m'interesserait pas mal.
Merci, et bonne journée.

Quinto
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[inviteca3a9be7]

Salut Quinto,


J'ai pas d'idée pour la première question (intéressante!) mais pour la seconde dans R[X] si P est de degré > 2 alors il n'est pas irréductible et donc (P) peut pas être maximal (et d'ailleurs R[X]/(P) n'est même pas intégre dans ce cas).

[inviteca3a9be7]

oui et donc R[X]/(P) ne peut être C.

[Quinto]

Salut,
merci pour ces précisions, c'est vrai que je n'avais pas précisé, en fait si on prend par exemple p=x²+x+1 qui est irreductible dans R, qu'est ce qui se passe( bon dans ce cas précis je n'ai qu'a regarder à la main) mais si on prend degP=2 et P irreductible dans R, que peut on dire de R[X]/P?

Question ouverte, a laquelle je reflechirai plus en detail, c'est vrai que le cas deg P>2 ne pose pas de probleme...

Il est clair que si P est décomposable en produit de facteur premiers disctincts, R[X]/P ne peut pas etre un corps (l'idéal engendré par P n'étant même pas premier) comme tu l'as dit.

En fait je me demandais aussi si on ne pouvait pas trouver une cloture algebrique de meme à Fp[X].

Par exemple, on pose P=(produit des (x-j),j de 0 a p-1)+1
Que peut on dire de Fp[X]/P ?

Intéressant tout ceci...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca3a9be7]

P irreductible dans R, que peut on dire de R[X]/P

C'est aussi C, de manière générale, si car(K) != 2, K[X]/(X²+bX+c) = K[sqrt(b²-4c)] si b²-4c n'est pas un carré dans K.


Dans le cas fini, c'est zouli car tout polynome de irréductible de d° n sur un corps de cardinal p donne un corps de cardinal ... p^n

[Quinto]

C'est marrant, j'aurai plutot dit que c'était K[w] ou w est une racine de x^2+bx+c.

[inviteca3a9be7]

Salut,

C'est exactement la même chose !

[invite8f53295a]

Oui la seule extension algébrique de IR est C, tu obtiendras toujours C de cette façon.

Salut,
je me pose quelques petites questions à propos des structures quotients.
Par exemple il est clair que nZ est maximal dans Z si et seulement si nZ est premier dans Z.
Notamment on a que Z/nZ est integre si et seulement si Z/nZ est un corps. Cela provient de la finitude de l'anneau

quotient.

Oui et un autre cas où cela se produit est quand A est une algèbre de dimension finie sur un corps, je te laisse voir pourquoi. En général de tels anneaux sont dits de dimension 0, les anneaux artiniens en sont un autre exemple.

Si maintenant on change d'endroit, et que l'on prend un anneau A. Je me demandais ce qu'il faudrait imposer sur A

pour que pour tout idéal I de A, A/I soit fini. Notamment on aurait la même propriétés que pour Z. Le cas A fini

semble évident. Mais après?

Il me semble que mon prof de sup m'a dit un jour que Z est le seul anneau jouissant de cette propriété...

[invite8f53295a]

Dans le cas fini, c'est zouli car tout polynome de irréductible de d° n sur un corps de cardinal p donne un corps de cardinal ... p^n

Oui et même LE corps de cardinal p^n, il n'y en a qu'un à isomorphisme près.

[invite51f4efbf]

En fait je me demandais aussi si on ne pouvait pas trouver une cloture algebrique de meme à Fp[X].

Tout corps se plonge dans un corps algébriquement clos. Pas contre je pense que la preuve est une peu plus compliquée que la simple construction de corps de rupture sucessifs...

[martini_bird]

Tout corps se plonge dans un corps algébriquement clos. Pas contre je pense que la preuve est une peu plus compliquée que la simple construction de corps de rupture sucessifs...

En effet. En particulier, il faut faire usage de l'axiome du choix.
Cf. http://sciences.ows.ch/mathematiques...ieDeGalois.pdf
page 36.

[martini_bird]

Je me demandais ce qu'il faudrait imposer sur A pour que pour tout idéal I de A, A/I soit fini.

Je pense que c'est une question de cardinaux: Z et 2Z sont des esembles infinis mais Z/2Z est fini; En revanche, R et Z sont aussi des ensembles infinis mais R/Z est infini aussi.

Si H est un sous groupe d'un groupe fini G , on a la relation card(G/H)=card(G)/card(H).
Ca n'est pas déraisonnable de conjecturer que pour un anneau A (fini ou infini) et un idéal I de cet anneau (fini ou infini), on a encore la relation card(A/I)=card(A)/card(I).

[Quinto]

La démonstration dans le cas fini est évidente, I est un groupe additif.

Mais dans le cas infini, ca me semble pas évident, par exemple il faudrait trouver un ensemble dont ses idéaux sont tous en bijection, et en bijection avec notre ensemble de départ.

Comment créer ceci....?

[inviteca3a9be7]

Quinto, je me demande si Z[i] ne marcherait pas pour ta première question. Qu'en penses-tu ?

[invite8f53295a]

Il me semble que mon prof de sup m'a dit un jour que Z est le seul anneau jouissant de cette propriété...

Bon ici c'est faux, j'ai confondu avec la propriétés quotient par un sous-groupe et non un idéal.

Donc pour la propriété "tout quotient par un idéal non nul est fini", il y a beaucoup d'autres exemples que Z. Il y a bien sûr tous les anneaux d'entiers sur Z, par exemple Z[i] comme il a été présenté plus haut. Mais également tous les Z[a,b,...,c] avec a,b,...,c entiers sur Z.
Mais on a aussi dans d'autres caractéristiques, par exemple si k est un corps fini, l'anneau k[X] a aussi cette propriété. Et pour donner un exemple qui n'est pas de type fini, je pense que l'anneau des séries formelles sur k (corps fini toujours) k[[X]] est également de ce type...

[martini_bird]

Salut,

je propose un essai de démonstration pour la première question: on suppose A infini et A/I fini.
On choisit n représentants x_i dans A des classes modulo I. On peut donc écrire que A est la réunion finie disjointe des ensembles .
Si I était fini, on aurait une contradiction. I est donc infini et la réunion finie ci-dessus a même cardinal que I. Or ce cardinal est aussi celui de A. Conclusion: si A/I est fini, A et I ont même cardinal.

Qu'en pensez-vous?