Polynômes de Taylor et intégrales

[Bleyblue]

Bonjour,

Je viens de voir les polynômes de Taylor dans mon Stewart.
Ils expliquent aussi comment calculer la valeur approximative d'une intégrale grâce à des séries de Taylor (je suppose que c'est lié aux polynômes de Taylor ?) . L'ennui c'est que ce n'est expliqué qu'au chapitre 8, et moi je viens de terminer le chapitre 3 donc j'ai encore le temps, et je n'ai pas envie d'aller voir dans le chapitre 8 alors que je ne suis qu'a la fin du trois, ce serait dela triche

Si je veux calculer : par exemple.

Il suffit que je trouve un polynôme de Taylor de (mais centré ou ça ?) de degré suffisament élevé pour avoir quelques décimales de juste et alors j'intègre le polynôme ?

Si oui,je dois le centrer en quoi le polynôme ? En 0 ou en ?

merci
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[GuYem]

Je serais toi je ferais un développement de Taylor en pi/2, le milieu de l'intervalle d'intégration.

Cependant fais bien attention, dis toi bien qu'un développement en polynome de Taylor c'est quelque chose de local! Donc même si ca décrit bien la courbe localement (autour du point ou tu développes) ça ne donne guère d'information sur ce qui se passe ailleurs.

Il y a moyen de majorer l'erreur commise en intégrant le polynome de Taylor de degré k au lieu de la fonction elle-même en regardant la dérivée (k+1)-ième de la fonction. Je ne ma rappelle plus de la formule exacte mais ça ne m'étonnerait pas que ça ressemble à quelque chose du type :

...

Ou alors je dis une grosse bétise et je confonds avec les méthodes d'intégration d'ordre k

[martini_bird]

Salut,

l'intégrale est particulière: il faut considérer la partie principale de Cauchy, à savoir:


Un développement en série de Taylor me semble inopérant tel quel. Je commencerais par faire un changement de variable pour me ramener à une intégrale sur sans singularité.

Cordialement.

[Bleyblue]

La partie principale de Cauchy ? Je ne sais pas ce que c'est malheureusement ... Pourquoi l'intégrale est elle particulière ? Parce que apparament ...
Dans ce cas on pourrait réduire à :

comme ça, il n'y a plus de problèmes ?

Cependant fais bien attention, dis toi bien qu'un développement en polynome de Taylor c'est quelque chose de local! Donc même si ca décrit bien la courbe localement (autour du point ou tu développes) ça ne donne guère d'information sur ce qui se passe ailleurs.

Oui, mais si on prend un polynôme de degré suffisament élevé pour couvrir l'intervalle ça devrait aller non ?
Un polynôme de degré 10 ou plus par exemple ...

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

oui, c'est à cause de la singularité en pi/2 (c'est comme si tu voulais intégrer 1/x entre -1 et 1). C'est sûr qu'en changeant les bornes, le problème devient plus facile!

Sinon, faire une approximation, c'est aussi avoir le contrôle de l'erreur, i.e. estimer la différence |I-P| où I est ton intégrale et P ton approximation.

Cordialement.

[Bleyblue]

Ah oui.

Je suppose que j'apprendrai à faire ça lorsque j'attaquerai les séries ...

merci