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groupe quotient



  1. #1
    jameso

    groupe quotient


    ------

    bonsoir
    je suis irrité par un problème récurrent à savoir "le quotientage"

    voici un exo :
    soit G un sous groupe de GL2(R) engendré par A et B avec
    A=1/sqrt(2)*[-1,1;1,1] et B=[-1,0;0,1] (notation TI)

    on considère aussi H sg de G engendré par AB
    j'ai calculé le cardinal de H (8)
    j'ai montré ensuite que H est distingué dans G
    je dois ensuite calculer le quotient G/H et c'est ça que je n'arrive pas

    j'ai écrit ma relation d'équivalence
    MRN <==> MN^(-1) € H

    mais je n'arrive à construire ensuite G/H
    pourriez vous m'aider à le construire proprement ?

    merci d'avance car ce truc m'énerve beaucoup
    jameso

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    µµtt

    Re : groupe quotient

    Salut James,

    Avec du courage tu peux regarder les classes à gauche (par ex.) et constater qu'il n'y en a que deux.

    Sinon on peut être plus malin et utiliser le résultat "classique" : si G est engendré par a et b avec a²=b²=1 et n=ordre(ab) est fini alors G = D_2n (groupe diédral).

    Donc ici G = D_16 et G/H = Z/2Z

  4. #3
    jameso

    Re : groupe quotient

    salut µµtt,

    ta deuxième solution est en effet élégante mais ,moi mon problème c'est plus que je n'arrive pas bien à trouver "à la main" les éléments de G/H?
    y-a-t-il un "truc" car des qu'on sort de Z/nZ ,je suis un peu perdu pour voir qui est à bord


    merci de ton aide fidèle
    james

  5. #4
    jameso

    Re : groupe quotient

    re
    tu m'as simplifié le travail en diasant que G/H n'a que deux éléments
    c'est un sous groupe car H est distingué dans G donc l'identité I2 est parmis nous
    ensuite pour le deuxième élément de G/H je dirais A ou B (j'hésite sur B)
    donc G/H={I2(barre), A(barre)}
    ou G/H={I2(barre), B(barre)}

    je ne suis pas sur que ceci soit correct mais bon...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    BS

    Re : groupe quotient

    Citation Envoyé par jameso
    ensuite pour le deuxième élément de G/H je dirais A ou B (j'hésite sur B)
    donc G/H={I2(barre), A(barre)}
    ou G/H={I2(barre), B(barre)}
    Les deux sont justes, si A était dans H, H étant abélien, A commuterait à AB et alors ABAB=A²BB=A²B²=I, ce qui est faux. Donc A n'est pas dans H. De même B n'est pas dans H.

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