groupe quotient

[invitefa636c3d]

bonsoir
je suis irrité par un problème récurrent à savoir "le quotientage"

voici un exo :
soit G un sous groupe de GL2(R) engendré par A et B avec
A=1/sqrt(2)*[-1,1;1,1] et B=[-1,0;0,1] (notation TI)

on considère aussi H sg de G engendré par AB
j'ai calculé le cardinal de H (8)
j'ai montré ensuite que H est distingué dans G
je dois ensuite calculer le quotient G/H et c'est ça que je n'arrive pas

j'ai écrit ma relation d'équivalence
MRN <==> MN^(-1) € H

mais je n'arrive à construire ensuite G/H
pourriez vous m'aider à le construire proprement ?

merci d'avance car ce truc m'énerve beaucoup
jameso
-----

[inviteca3a9be7]

Salut James,

Avec du courage tu peux regarder les classes à gauche (par ex.) et constater qu'il n'y en a que deux.

Sinon on peut être plus malin et utiliser le résultat "classique" : si G est engendré par a et b avec a²=b²=1 et n=ordre(ab) est fini alors G = D_2n (groupe diédral).

Donc ici G = D_16 et G/H = Z/2Z

[invitefa636c3d]

salut µµtt,

ta deuxième solution est en effet élégante mais ,moi mon problème c'est plus que je n'arrive pas bien à trouver "à la main" les éléments de G/H?
y-a-t-il un "truc" car des qu'on sort de Z/nZ ,je suis un peu perdu pour voir qui est à bord


merci de ton aide fidèle
james

[invitefa636c3d]

re
tu m'as simplifié le travail en diasant que G/H n'a que deux éléments
c'est un sous groupe car H est distingué dans G donc l'identité I2 est parmis nous
ensuite pour le deuxième élément de G/H je dirais A ou B (j'hésite sur B)
donc G/H={I2(barre), A(barre)}
ou G/H={I2(barre), B(barre)}

je ne suis pas sur que ceci soit correct mais bon...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f53295a]

ensuite pour le deuxième élément de G/H je dirais A ou B (j'hésite sur B)
donc G/H={I2(barre), A(barre)}
ou G/H={I2(barre), B(barre)}

Les deux sont justes, si A était dans H, H étant abélien, A commuterait à AB et alors ABAB=A²BB=A²B²=I, ce qui est faux. Donc A n'est pas dans H. De même B n'est pas dans H.