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Fonctions définies par recurrence/transcendance



  1. #1
    Quinto

    Fonctions définies par recurrence/transcendance


    ------

    Salut,
    je me suis demandé ce qui se passait lorsque l'on prenait une fonction f holomorphe sur un disque ouvert Dr de C centré en 0 et de rayon r>0, telle que f(0)=0 et que l'on définissait la suite de fonction suivante:

    f0=f
    fn+1(x)=intégrale de f(t)/t prise sur [0,x]
    (ie fn+1 est la primitive de f(x)/x qui s'annule en 0)

    On a que (fn) converge vers x->ax de manière simple, et même de manière uniforme sur Dr, où a est le premier terme du développement de Taylor de f0.

    Ma question est simple:
    si pour un réel x et un entier n donnés, supposons que fn(x) ne soit pas algébrique sur C, peut on affirmer que fk(x) ne le soit pas non plus pour tout k>n?
    Sinon, sous quelle condition ceci est ce possible?

    Par exemple, ainsi, si on pose f0=ln(x+1), 0<r<1, alors
    (fn(1))=Zeta(n)
    et d'après ma remarque précédente, on aurait que la limite des Zeta(n) vaut 1 lorsque n tend vers l'infini. (ceci n'a aucun rapport, c'est juste une remarque que je me fais...)

    Si quelqu'un a une idée..

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  3. #2
    Quinto

    Re : Fonctions définies par recurrence/transcendance

    Pour etre totalement exact, la convergence a lieu uniformement sur le disque ouvert, cependant on a la convergence simple en 1, dans le cas particulier de f0(x)=ln(1-x) (et non 1+x comme je le disais d'ailleurs) ce qui permet de dire que Zeta(n) tend vers 1.

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