Salut,
je me suis demandé ce qui se passait lorsque l'on prenait une fonction f holomorphe sur un disque ouvert Dr de C centré en 0 et de rayon r>0, telle que f(0)=0 et que l'on définissait la suite de fonction suivante:
f0=f
fn+1(x)=intégrale de f(t)/t prise sur [0,x]
(ie fn+1 est la primitive de f(x)/x qui s'annule en 0)
On a que (fn) converge vers x->ax de manière simple, et même de manière uniforme sur Dr, où a est le premier terme du développement de Taylor de f0.
Ma question est simple:
si pour un réel x et un entier n donnés, supposons que fn(x) ne soit pas algébrique sur C, peut on affirmer que fk(x) ne le soit pas non plus pour tout k>n?
Sinon, sous quelle condition ceci est ce possible?
Par exemple, ainsi, si on pose f0=ln(x+1), 0<r<1, alors
(fn(1))=Zeta(n)
et d'après ma remarque précédente, on aurait que la limite des Zeta(n) vaut 1 lorsque n tend vers l'infini. (ceci n'a aucun rapport, c'est juste une remarque que je me fais...)
Si quelqu'un a une idée..
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