Bonjour à tous,
Soit une suite de fonctions définie par:
T0 (x)= 1 et T1 (x)= x
et pour tout n>0, Tn+1(x) = 2x Tn(x) - Tn-1(x)
Il me faut montrer, par récurrence, que Tn(x) ≤ 2^(n-1)*x^n
Tout en sachant que deg(Tn)=n et que le coeff dominant de Tn est 2^(n-1)
Je ne sais pas comment faire la récurrence (sur plusieurs termes, = si oui comment?).
Ayant commencé quelques calculs, pour que la récurrence marche, il faudrait que je démontre que 0 ≤ Tn-1, ce qui me parait impossible à démontrer.
En effet, ce qu'on te demande de démontrer est manifestement faux sur R-. Il suffit de considérer T3=4x^3 - 3x.
Es-tu sûr que l'énoncé ne te demande pas de démontrer ça pour |Tn|, déjà ?
Non, en fait, c'est pour tout x>1, mais même avec cela, je n'arrive pas à le démontrer.
Les polynomes Tn sont les polynomes de Tchebyschev, ils vérifient
Tn(cost)=cos(nt)
Les racines sont donc comprises dans l'intervalle [-1,1]. Donc le polynome garde un signe constant pour x>1, je te laisse conclure
Au lieu d'utiliser les polynomes de tchebytchev...methodes assez lourde à mettre en place...je propose d'inclure dans ta reccurence que Tn+1(x)>Tn(x) pr tt x>1 et que les Tn sont positifs pr x>1.
Ainsi tu auras Tn+1(x)-Tn(x)=Tn(x)(x-1)+xTn(x)-Tn-1(x) dont on prouve facilement que c'est superieur a 0 en utilisant les hypotheses de reccurences.
Donc on a finalement que pr tt x>1 Tn(x)>0 et tu peux donc conclure sur la premiere inegalité.
Je ne trouve pas cela compliqué :
Si on prend x=cos(t) dans [-1,1], et que l'on suppose Tn(cost)=cos(nt), il vient
Tn+1(cost)=2costcos(nt)-cos(n-1)t=costcos(nt)+costcos(nt)-sintsin(nt)+sintsin(nt)-cos(n-1)t=cos(n+1)t en regroupant les premiers et quatrièmes termes d'une part, et second et troisième d'autre part.
Vu comme ca c'est vrai...si le problème posé comporte d'autres questions, il est interressant d'introduire les polynomes de tchebytchev tt de suite, ca peut apporter d'importantes simplifications.
