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Fonctions définies à partir d'intégrales



  1. #1
    Bleyblue

    Fonctions définies à partir d'intégrales


    ------

    Bonjour,

    Si j'ai une fonction définie comme suite :



    où g et h sont des fonctions dérivables de R² -> R et k une fonction intégrable de R -> R

    alors j'ai bien :



    et



    n'est-ce pas ?

    Donc par exemple :





    C'est bien juste tout ça ?

    merci

    -----

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  4. #2
    rvz

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Bonjour,

    Si j'étais toi, j'écrirai pour commencer

    Ainsi, pour g défini par g(x) = f(g(x)), on obtient facilement que

    Et du coup, après ça, il est relativement évident que ce que tu as écrit est vrai.
    Pour t'entraîner, tu peux aussi essayer de calculer la dérivée de .

    __
    rvz

  5. #3
    Bleyblue

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Ah

    Eh bien moi je dirais :

    H'(x) = h(x,a(x)).a'(x)

    merci

  6. #4
    Bleyblue

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Mais ma question de départ est ridicule en effet, c'est juste une version à deux variables de :



    merci
    Dernière modification par Bleyblue ; 23/05/2006 à 15h39.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    rvz

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Citation Envoyé par Bleyblue
    H'(x) = h(x,a(x)).a'(x)
    Eh non ! Justement, il y a une petite subtilité. Si tu ne la vois pas tout de suite, ce qui est tout à fait compréhensible, je te conseille de poser le calcul de H(x+e)-H(x) avec e petit.

    __
    rvz

  9. #6
    Bleyblue

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Ah oui je pense que je vois.

    Si H(x) =

    alors la dérivée du second terme n'est pas nulle vu qu'on dérive par rapport à x :

    H'(x) = h(x,a(x)).a'(x) - h(x,o)

    ça me semble juste

    merci

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  11. #7
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Citation Envoyé par rvz
    Bonjour,
    ...
    Ainsi, pour g défini par g(x) = f(g(x)), on obtient facilement que

    ...
    Quelque chose qui m'échappe là car ca revient à : 1 = f'(g(x)), non ?

  12. #8
    rvz

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Non ! Ca marche toujours pas.

    Pour t'aider encore un petit peu :
    Comment dérives tu
    ?

    __
    rvz

  13. #9
    rvz

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Citation Envoyé par jreeman
    Quelque chose qui m'échappe là car ca revient à : 1 = f'(g(x)), non ?

    J'ai un peu pris des notations à la con. Il fallait lire
    h(x) = f(g(x))
    donc h'(x) = f'(g(x))g'(x).

    __
    rvz

  14. #10
    Bleyblue

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Citation Envoyé par rvz
    Non ! Ca marche toujours pas.

    Pour t'aider encore un petit peu :
    Comment dérives tu
    ?
    Mais en fait je n'ai encore jamais (dans le cadre de mes cours) appris à intégrer des fonctions de Rn vers R
    J'attaque cet exercice intuitivement, le problème vient peut-être de la

    Sinon eh bien g'(x) = f(x,a) - f(x,o) non ?

    merci

  15. #11
    rvz

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Non, en fait, tu as


    Ici, tu peux voir x comme un paramètre, en tout cas, il est fixé quand tu intègres. Donc la fonction que tu intègres, c'est f(x,.) qui est une fonction de R dans R.

    __
    rvz

  16. #12
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    J'ai l'impression que ca marche pas, par exemple pour f(x, t) = exp(xt).

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  18. #13
    rvz

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Qu'est ce qui ne marche pas ?

    __
    Sauf erreur, je ne me trompe jamais

  19. #14
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    En fait peut être que c'est bon.

    Mais juste pour confirmer :
    si g(x) = , on trouve g(x) =
    g'(x) = .


    Et si j'ai compris, on a, , si j'ai compris, on aurait donc ?

  20. #15
    matthias

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Oui tu retrouverais le même résultat avec une intégration par parties.

  21. #16
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Merci, oui c'est vrai que c'est évident quand on fait tendre h vers 0 dans ( g(x + h) - g(x) ) / h.

  22. #17
    Bleyblue

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Citation Envoyé par rvz
    Non, en fait, tu as


    Ici, tu peux voir x comme un paramètre, en tout cas, il est fixé quand tu intègres. Donc la fonction que tu intègres, c'est f(x,.) qui est une fonction de R dans R.

    __
    rvz
    Ah oui c'est malin ça
    Mais si on veut exprimer le résultat sans l'opérateur de dérivation ?

    meric

  23. #18
    rvz

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Je comprends pas trop ce que tu veux dire. Le théorème dont je parle dit qu'on peut commuter intégrale et dérivation quand les bornes sont fixes. Ce n'est pas totalement trivial ! La justification est en fait un passage à la limite qui se justifie avec le théorème de convergence dominée....
    Exprimer le résultat sans l'opérateur de dérivation est impossible tant que f n'est pas donné.
    Bon, du coup, je te donne une grosse partie de la solution de la question que je t'avais posée, j'espère que ça t'éclairera.

    Je pose

    Alors H(x) = F(x,a(x)).
    Du coup, H'(x) = ...

    __
    rvz

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  25. #19
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    J'ai trouvé je pense.

  26. #20
    Bleyblue

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Je n'en sais rien.
    Je suis complètement perdu.

    Qu'est ce que ça veut dire que F(x,a(x)) ? C'est une fonction à une ou deux variables ça ?

    merci

  27. #21
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    F(x,a(x)), ce n'est rien d'autre que le résultat de deux actions :

    1. tu associes d'abord x à un couple (x, a(x))
    2. puis tu associes ce couple à F(x, y).

  28. #22
    Bleyblue

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Oui mais la fonction qui en résulte c'est une fonction d'une seule variable x non ?

  29. #23
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Oui à la fin tu n'as plus qu'une seule variable.

  30. #24
    Bleyblue

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Ah

    Mais je ne comprends toujours pas. Pour moi H'(x) = h(x,a(x)).a'(x)

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  32. #25
    rvz

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Non, la dérivée de H est

    Essaye de voir si tu comprends pourquoi...
    __
    rvz

  33. #26
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    En écrivant H(x+h) - H(x) j'arrive à




    A la limite pour la première intégrale, on retombe sur


    mais j'avoue ne pas trop voir à partir de là, comment arriver à la formule finale ?

  34. #27
    rvz

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Salut,

    Je me permets de corriger quelques trucs, et tu vas voir, ça va aller tout seul :

    Citation Envoyé par jreeman
    En écrivant H(x+h) - H(x) j'arrive à






    A la limite pour la première intégrale, on retombe sur
    Ensuite, tu regardes la deuxième intégrale. A l'ordre 1, tu peux considérer que tu intègres sur un intervalle de taille h a'(x) une fonction constante = f(x,a(x)). Du coup, ça te donne quelque chose en h a'(x)f(x,a(x)) + termes d'ordre supérieur en h...
    La dernière intégrale consiste à intégrer quelque chose de l'ordre de h sur un intervalle de l'ordre de h, ce qui te donne quelque chose de l'ordre de h^2 dans le pire cas, et donc on s'en fout.
    Bilan :


    __
    rvz

  35. #28
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    oui j'avais trouvé cela mais c'est différent de , non ?

  36. #29
    rvz

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Je me suis encore emmelé dans mes notations, je suis vraiment confus.
    Au début, h représentait la fonction intégré entre 0 et y de a(x,t), puis ensuite h est devenu le truc qu'on intègre.
    Mais bon, je pense que tu as compris, donc je me permets de ne pas le réécrire encore une fois si tu veux bien...

    __
    rvz, perdu dans ses propres notations....

  37. #30
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Fonctions définies à partir d'intégrales

    Ok en tout cas merci pour tes indications.

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