Fonctions définies à partir d'intégrales

[Bleyblue]

Bonjour,

Si j'ai une fonction définie comme suite :



où g et h sont des fonctions dérivables de R² -> R et k une fonction intégrable de R -> R

alors j'ai bien :



et



n'est-ce pas ?

Donc par exemple :





C'est bien juste tout ça ?

merci
-----

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Si j'étais toi, j'écrirai pour commencer

Ainsi, pour g défini par g(x) = f(g(x)), on obtient facilement que

Et du coup, après ça, il est relativement évident que ce que tu as écrit est vrai.
Pour t'entraîner, tu peux aussi essayer de calculer la dérivée de .

__
rvz

[Bleyblue]

Ah

Eh bien moi je dirais :

H'(x) = h(x,a(x)).a'(x)

merci

[Bleyblue]

Mais ma question de départ est ridicule en effet, c'est juste une version à deux variables de :



merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

H'(x) = h(x,a(x)).a'(x)

Eh non ! Justement, il y a une petite subtilité. Si tu ne la vois pas tout de suite, ce qui est tout à fait compréhensible, je te conseille de poser le calcul de H(x+e)-H(x) avec e petit.

__
rvz

[Bleyblue]

Ah oui je pense que je vois.

Si H(x) =

alors la dérivée du second terme n'est pas nulle vu qu'on dérive par rapport à x :

H'(x) = h(x,a(x)).a'(x) - h(x,o)

ça me semble juste

merci

[invite7863222222222]

Bonjour,
...
Ainsi, pour g défini par g(x) = f(g(x)), on obtient facilement que

...

Quelque chose qui m'échappe là car ca revient à : 1 = f'(g(x)), non ?

[invite6b1e2c2e]

Non ! Ca marche toujours pas.

Pour t'aider encore un petit peu :
Comment dérives tu
?

__
rvz

[invite6b1e2c2e]

Quelque chose qui m'échappe là car ca revient à : 1 = f'(g(x)), non ?

J'ai un peu pris des notations à la con. Il fallait lire
h(x) = f(g(x))
donc h'(x) = f'(g(x))g'(x).

__
rvz

[Bleyblue]

Non ! Ca marche toujours pas.

Pour t'aider encore un petit peu :
Comment dérives tu
?

Mais en fait je n'ai encore jamais (dans le cadre de mes cours) appris à intégrer des fonctions de Rⁿ vers R
J'attaque cet exercice intuitivement, le problème vient peut-être de la

Sinon eh bien g'(x) = f(x,a) - f(x,o) non ?

merci

[invite6b1e2c2e]

Non, en fait, tu as


Ici, tu peux voir x comme un paramètre, en tout cas, il est fixé quand tu intègres. Donc la fonction que tu intègres, c'est f(x,.) qui est une fonction de R dans R.

__
rvz

[invite7863222222222]

J'ai l'impression que ca marche pas, par exemple pour f(x, t) = exp(xt).

[invite6b1e2c2e]

Qu'est ce qui ne marche pas ?

__
Sauf erreur, je ne me trompe jamais

[invite7863222222222]

En fait peut être que c'est bon.

Mais juste pour confirmer :
si g(x) = , on trouve g(x) =
g'(x) = .


Et si j'ai compris, on a, , si j'ai compris, on aurait donc ?

[invitec314d025]

Oui tu retrouverais le même résultat avec une intégration par parties.

[invite7863222222222]

Merci, oui c'est vrai que c'est évident quand on fait tendre h vers 0 dans ( g(x + h) - g(x) ) / h.

[Bleyblue]

Non, en fait, tu as


Ici, tu peux voir x comme un paramètre, en tout cas, il est fixé quand tu intègres. Donc la fonction que tu intègres, c'est f(x,.) qui est une fonction de R dans R.

__
rvz

Ah oui c'est malin ça
Mais si on veut exprimer le résultat sans l'opérateur de dérivation ?

meric

[invite6b1e2c2e]

Je comprends pas trop ce que tu veux dire. Le théorème dont je parle dit qu'on peut commuter intégrale et dérivation quand les bornes sont fixes. Ce n'est pas totalement trivial ! La justification est en fait un passage à la limite qui se justifie avec le théorème de convergence dominée....
Exprimer le résultat sans l'opérateur de dérivation est impossible tant que f n'est pas donné.
Bon, du coup, je te donne une grosse partie de la solution de la question que je t'avais posée, j'espère que ça t'éclairera.

Je pose

Alors H(x) = F(x,a(x)).
Du coup, H'(x) = ...

__
rvz

[invite7863222222222]

J'ai trouvé je pense.

[Bleyblue]

Je n'en sais rien.
Je suis complètement perdu.

Qu'est ce que ça veut dire que F(x,a(x)) ? C'est une fonction à une ou deux variables ça ?

merci

[invite7863222222222]

F(x,a(x)), ce n'est rien d'autre que le résultat de deux actions :

1. tu associes d'abord x à un couple (x, a(x))
2. puis tu associes ce couple à F(x, y).

[Bleyblue]

Oui mais la fonction qui en résulte c'est une fonction d'une seule variable x non ?

[invite7863222222222]

Oui à la fin tu n'as plus qu'une seule variable.

[Bleyblue]

Ah

Mais je ne comprends toujours pas. Pour moi H'(x) = h(x,a(x)).a'(x)

[invite6b1e2c2e]

Non, la dérivée de H est

Essaye de voir si tu comprends pourquoi...
__
rvz

[invite7863222222222]

En écrivant H(x+h) - H(x) j'arrive à




A la limite pour la première intégrale, on retombe sur


mais j'avoue ne pas trop voir à partir de là, comment arriver à la formule finale ?

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je me permets de corriger quelques trucs, et tu vas voir, ça va aller tout seul :

En écrivant H(x+h) - H(x) j'arrive à






A la limite pour la première intégrale, on retombe sur

Ensuite, tu regardes la deuxième intégrale. A l'ordre 1, tu peux considérer que tu intègres sur un intervalle de taille h a'(x) une fonction constante = f(x,a(x)). Du coup, ça te donne quelque chose en h a'(x)f(x,a(x)) + termes d'ordre supérieur en h...
La dernière intégrale consiste à intégrer quelque chose de l'ordre de h sur un intervalle de l'ordre de h, ce qui te donne quelque chose de l'ordre de h^2 dans le pire cas, et donc on s'en fout.
Bilan :


__
rvz

[invite7863222222222]

oui j'avais trouvé cela mais c'est différent de , non ?

[invite6b1e2c2e]

Je me suis encore emmelé dans mes notations, je suis vraiment confus.
Au début, h représentait la fonction intégré entre 0 et y de a(x,t), puis ensuite h est devenu le truc qu'on intègre.
Mais bon, je pense que tu as compris, donc je me permets de ne pas le réécrire encore une fois si tu veux bien...

__
rvz, perdu dans ses propres notations....

[invite7863222222222]

Ok en tout cas merci pour tes indications.