processus stochastiques

[invited9d78a37]

je voulais savoir en quoi consistait cette matiere(j'ai fait un tour preleminaire sur wiki).
dans quels domaines s'applique cette discipline??
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[invitedf667161]

Salut.

L'étude des processus stochastiques est une des branches les plus actives des probabilités. Tu serais surpris des applications ; sache par exemple qu'on peut presque rapidement résoudre l'équation de la chaleur sur un domaine de R^n, ou même d'une variété, à partir d'un brave processus qu'on appelle le mouvement brownien.

Pour te donner une vague idée de ce qu'est un processus, prends un petit monsieur, mets le à l'origine de Z^2, donne lui un dé à quatre face, dis lui de le lancer.
Si il fait 1, il monte d'un cran.
Si il fait 2, il va à droite
Si il fait 3, il descend
Si il fait 4, il va à gauche.
Et il répète l'opération jusqu'à plus soif.

On montre par exemple que la probabilité qu'il atteigne un point donné de Z^2 est égale à 1, mais que l'espérance du temps qu'il mettra pour y arriver est infinie.

[invited9d78a37]

le mouvement brownien j'en ai deja entendu parler (einstein est passé par la???).
en fait ton exemple dit que le monsieur balaiera la surface Z^2 entierement mais ca lui prendra un temps infini, si on peut parler de surface pour Z^2.
quand tu parles de moultes applications, est ce un secteur qui embauche pas mal, y a t il des livres traitant de ce domaine (niveau L2 maths-physique)?

[invitedf667161]

A ma connaissance Enstein n'a pas trop touché au mouvement brownien. C'est plutôt monsieur Brown qui a "découvert" ce mouvement. Son idée de départ est de regarder une particule de pollen flottant à la surface d'un verre d'eau, au milieu de pleins pleins d'autres particules de pollen. Il faut imaginer que cette particule est soumise en permanence aux collision des autres particules et donc qu'elle change à tous les instants de trajectoire.

Tu as en effet saisi le problème du monsieur. Cependant cela permet de répondre à un problème de casino par exemple : mettons nous cette fois dans Z et non pas dans Z^2. Le monsieur a une pièce qu'il lance.
Si il fait pile, il gagne 1 euros.
Si il fait face, il perd 1 euros.
Et il répète.
Sa fortune à l'instant T est le nombre de fois où il a fait pile.
Le résultat précédent dit que, si il dispose d'assez de temps, ie d'assez d'argent au départ, sa fortune pourra atteindre n'importe quel nombre !

Cela est un exemple simple du fait que, si on va jouer au casino avec un budget illimité, et qu'on dispose d'un temps infini pour jouer, on pourra repartir du casino en ayant empoché la somme que l'on veut.

Pour les applications pratiques j'avoue ne pas en connaitre beaucoup. Les mathématiques financières se développent beaucoup et sont basées sur de tels processus.
Le niveau L2 me semble un peu juste pour aborder ce genre de choses, tu peux essayer, si tu as des bases de probabilités assez solides, le livre de Foata intitulé : "processus stochastique".

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

Salut

Un processus statistique est la generalisation d'une variable aleatoire a des espaces plus grand:
- une variable aleatoire (reelle ou vectorielle) X peut prendrre certaines valeurs. Elle est caracteriser par une loi de distribution f definie par f(x) est la probabilite que X soit entre x et x+dx. C est tres pratique pour modeliser des phenomenes aleatoires.
- Par contre, si le phenomene aleatoire depend du temps (ou d'autres parametres), ca ne suffit plus. Par exemple, consideres une "varaiable aleatoire" dependant du temps. On la note X(t). A chaque t fixe, tu as une variable aleatoire, et en "tirant" (ou en fixant le cote aleatoire), tu as une fonction x(t). Les problemes viennent de la definition de "tirer" une fonction. En gros tu souhaite definir une parobabilite sur l'espace des X(t). Ce n est pas simple. Par contre, tu sais le faire sur des vecteurs (cf les variables aleatoires vectoreilles). Si tu prnds un nb de pt fini t1,...,tn, tu peux former la variable aleatoire vectorielle X(t1),...,X(tn) et y definir une probabilite.
Il fut ajouter une condition de coherence pour que la variable
X(t1),...,X(tn) et
X(t2),...,X(tn) soient coherentes entre elles. Une fois que c'est fait, tu as reussi a definir des probabilites sur des processus stochastique.

Les exemples les plus utilises sont
- les processus stationnaires d ordre un (moyenne E{X(t)} independente de t) et d'ordre deux (moyenne independente du temps et varaince ne dependent que de la difference de temps E{X(t)X(y)}=k(t-y) ou k est appelle fonction de covariance)
- les processus gaussien : X(t1),...,X(tn) est une gaussienne vectorielle de dimension n

C est utilise partout. En ingenieurerie du signal, ca modelise tres bien les bruits. Les processus gaussien sont devenues a la mode car ils premettent des regression non parametriques facilement calculables (regarde http://www.gaussianprocess.org/ par exemple)

A+

vlad

[invite7863222222222]

A ma connaissance Enstein n'a pas trop touché au mouvement brownien.

Si si, il l'a étudié et en a même donné les fondements théorique alors que Brown a constaté expérimentalement que le phénomène ne pouvait pas être d'origine organique (pollen et bulle de gaz dans une liquide en mouvement depuis des millions d'années).

Oui Einstein a fait d'autre choses que de découvrir la théorie de la relativité .

[invited9d78a37]

d'ailleur je crois que ca faisait partie d'un des cinq articles de 1905

[GrisBleu]

Le niveau L2 me semble un peu juste pour aborder ce genre de choses, tu peux essayer, si tu as des bases de probabilités assez solides, le livre de Foata intitulé : "processus stochastique".

Salut Guyem. Ca depend beaucoup de ce qu'on veut faire. Pas besoin de tout comprendre pour les utiliser. Parceque les livres de probas indigeste (je ne dis pas ca pour foata, je ne l'ai pas lu) pour essayer de manipuler des choses au final "intuitives"...
J'aime mieux des approches plus anglo-saxonnes ex: "Gaussian process for machine learning" ou il y a des definitons par trop rigoureuses mais qui permettent de les manipuler et de faire des calculs bien puissant.

Bon j'exagere un peu, mais avec mes connaissances "prepa + ecole d' inge" (en gros L2 ) j arrive a gerer. Et je me rappelle de ce bouquin http://www.amazon.fr/exec/obidos/ASI...513025-8540440
ou l'auteur attaque avec 150 pages de theorie de la mesure, de l'integarle stochastique et tout alors que franchement, pas besoin dans la pratique (un bon Haykin et ca roule) de tout ca pour le filtre de kalman.

C'est un peu souvent le probleme des bouquins de probas francais "pour ingenieur" fait par des chercheurs tres forts et ou l'ingenieur ne comprend rien sans un gros baggaes deja la...

apres si c'est pour de la recherche pure, pourquoi pas

[invite7863222222222]

d'ailleur je crois que ca faisait partie d'un des cinq articles de 1905

oui tu as raison.