Groupe quotient

[invite22a185a6]

Bonjour à tous,
j'ai une question à laquelle je n'arrive pas à répondre, peut-être aurez vous la gentillesse de m'aider :
on sait que le quotient d'un groupe par un sous-groupe distingué est un groupe, la réciproque est-elle vraie?
Merci
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[invite9c9b9968]

Salut,

Je reformule juste pour savoir si j'ai bien compris : tu te demandes si tout groupe serait le quotient d'un autre groupe par un de ses sous-groupes distingués ?

Ou bien tu te demandes si ayant un groupe quotient donné, le sous groupe de quotientage est-il nécessairement distingué ?


Si ta question est la première, ma réponse est : je n'en sais rien dans l'instant, mais je penche pour non, disons parce qu'il doit y avoir un groupe "primitif" dans une chaine de quotientage à mon avis.

Si ta question est la seconde, la réponse est oui

[invite22a185a6]

Merci pour ta (tes réponses) ma question était la deuxième ,la preuve est-elle triviale?
Encore merci et aurevoir

[invite9c9b9968]

Triviale, je n'irai pas jusque là quand même

Mais elle ne se fait, sans trop de soucis il me semble.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bonjour,
Si G/H est un groupe H est-il distingué?
gH.g'H=(gg')H déjà pour que la loi interne sur G/H soit bien définie.
En particulier on a pour g'=g* (inverse de g)
gHg*H=(gg*)H=H d'où gHg*=HxH*=H.

[invite22a185a6]

Bonjour,
merci pour ta preuve homotopie je crois en avoir une autre:
soit G un grpe H un sous-groupe tel que G/H soit un groupe alors on a un homomorphisme surjectif
p:G->G/H
et Ker p = H
d'ou H est distingué dans G.
Merci,bonne journée