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Groupe quotient



  1. #1
    Pepsilone

    Groupe quotient


    ------

    Bonjour à tous,
    j'ai une question à laquelle je n'arrive pas à répondre, peut-être aurez vous la gentillesse de m'aider :
    on sait que le quotient d'un groupe par un sous-groupe distingué est un groupe, la réciproque est-elle vraie?
    Merci

    -----

  2. #2
    Gwyddon

    Re : Groupe quotient

    Salut,

    Je reformule juste pour savoir si j'ai bien compris : tu te demandes si tout groupe serait le quotient d'un autre groupe par un de ses sous-groupes distingués ?

    Ou bien tu te demandes si ayant un groupe quotient donné, le sous groupe de quotientage est-il nécessairement distingué ?


    Si ta question est la première, ma réponse est : je n'en sais rien dans l'instant, mais je penche pour non, disons parce qu'il doit y avoir un groupe "primitif" dans une chaine de quotientage à mon avis.

    Si ta question est la seconde, la réponse est oui
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  3. #3
    Pepsilone

    Re : Groupe quotient

    Merci pour ta (tes réponses) ma question était la deuxième ,la preuve est-elle triviale?
    Encore merci et aurevoir

  4. #4
    Gwyddon

    Re : Groupe quotient

    Triviale, je n'irai pas jusque là quand même

    Mais elle ne se fait, sans trop de soucis il me semble.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    homotopie

    Re : Groupe quotient

    Bonjour,
    Si G/H est un groupe H est-il distingué?
    gH.g'H=(gg')H déjà pour que la loi interne sur G/H soit bien définie.
    En particulier on a pour g'=g* (inverse de g)
    gHg*H=(gg*)H=H d'où gHg*=HxH*=H.

  7. #6
    Pepsilone

    Re : Groupe quotient

    Bonjour,
    merci pour ta preuve homotopie je crois en avoir une autre:
    soit G un grpe H un sous-groupe tel que G/H soit un groupe alors on a un homomorphisme surjectif
    p:G->G/H
    et Ker p = H
    d'ou H est distingué dans G.
    Merci,bonne journée

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