produit de Cauchy

[benjgru]

Bonjour,

quelq'un connait-il l'idée de la démonstration du produit de Cauchy ??

pour mémoire http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_de_Cauchy

je vois vraiment pas comment on arrive au produit des séries...??

merci
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[invite4ef352d8]

Salut !


ce qui te gène, c'est les opérations "algébrique" ou bien les probleme de justification de la convergence ?

[invite4ef352d8]

Bon dans les grandes lignes ...

déja les aspects algébrique pour comprendre ou on va :

(somme des ai) * (sommes des bj) = sommes des ((sommes des ai ) *bj) = sommes des ai*bj, pour (i,j) parcourant N².

apres si on pose Ck = sommes des ai*bj telle que i*j=k.

si on fait (somme des Ck, pour k allant de 0 a +infinit) on trouve bien tous les termes en ai*bj une et une seul fois dans la somme. d'ou la relation.


ca c'est pour l'aspect algébrique (meme heuristique a la limite ^^ ) ceci ne constitue une démonstration que dans le cas ou (par exemple) ai et bj serait nul a partir d'un certain rang... (on a manipuler les sommes comme si elle était finit).

pour justifier cela rigouresement, il y a deux methodes, soit on majore la somme des Ck - sommes partielle des ai *sommes partielle des bj... c'est (un peu) fastidieux.

sinon, on sais que quand une série est absoluement convergente, on peut effecture tous les regroupement de termes et toute les permutations que l'on souhaite ca ne change pas ca valeur ni ca convergence. or si la somme des an et la somme des bn est convergente, on peut majorer facillement la somme des |ai|*|bj| par le produit des sommes des |ai| par sommes des |bj|, et donc la série est majoré donc absoluement convergente, on peut donc faire toute les permutations et regroupement de terme que l'on souhaite... par exemple regrouper les termes a i+j constant constant, c'est exactement ce qu'on fait pour le produit de cauchy...

(bien sur si on souhaite obtenir des résultat plus fin, comme le th de mertens (en supposant uniquement sommes des an absoluement convergente et somme des bn semi-convergente) la il faut revenir a des majoration 'un peu fastidieuse'...

[benjgru]

si on fait (somme des Ck, pour k allant de 0 a +infinit) on trouve bien tous les termes en ai*bj une et une seul fois dans la somme. d'ou la relation.


tu peux expliciter ??

je comprends pas l'implication...

[A voir en vidéo sur Futura]