Suite de Cauchy .. ?

[invite870bfaea]

Salut tout le monde ..

j'ai un petit exo qu'est le suivant

On note \large (u_n) une suite de nombre réels. On suppose que (u_n) est de Cauchy et on veut montrer sa convergence ..



a/ Montrer qu'on peut définir une suite \large (v_n)_{n\ge k} par \large v_n = sup_{k\ge n} u_{k}
cette question veut dire que \u_n est bornée ? si c'est le cas c'est simple en utilisant la proposition " toute suite de Cauchy est bornée .. (?)

b/ ensuite je veux montrer que \large (v_n) est décroissante.. La je ne vois pas comment faire ..car v_{n+1}-v_n ne donne pas grand chose ..

c/ conclure .

la je suppose de montrer que u_n et v_n sont adjacentes et donc u_n converge ..


Je vous prie de me corriger svp ?
Merci beaucoup
-----

[invitedf667161]

Salut, je crois que tu n'es pas vraiment sur la bonne voie ...

a/ il faut justifier l'existence du sup de la définition de v_n. Ta justification est bonne : si u_n est de cauchy, elle est bornée, et donc son sup pour k plus grand qu'un certain n.

Maintenant il faut bien que tu saisisses la définition de v_n : " v_n c'est le plus grand terme de la suite u après le rang n ".

b/ Si tu as bien saisi le sens de la définition de v_n, c'est immédiat qu'elle est décroissante.

c/Je ne crois pas qu'il faille montrer que u_n est v_n sont adjacentes. En effet, u_n n'est pas forcément croissante.
Par contre v_n est décroissante, et elle est aussi minorée, (je te laisse trouver un minorant). Du coup elle converge, disons vers a. A tous les coups ce sera ce a la limite de u_n, ça te parait plausible ?

[invite870bfaea]

Salut GuYem,

je te remercie d'avoir répondu, ..

v_n décroissante je vois bien ça maintenant vers u_k c'est correct ?

P.S: il n'y a pas de latex?

[invitedf667161]

Non ce n'est pas correct.

k est une variable muette, elle ne doit apparaitre nulle part.

Je te réécris la définition de v_n avec des mots : " v_n c'est le plus grand terme de la suite u après le rang n ".

Le fait que v soit décroissante se voit comme cela :
Si p > n, le plus grand terme de u après p est forcément plus petit (ou égal) que le plus grand terme de u après n. Eh oui, puisqu'il y a moins de termes après p que après n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite455504f8]

bonjour, je suis un peu perplexe sur cette "démonstration" de la complétude de ... est construit comme complété de ,donc il est complet par définition. il me semble que la propriété de la borne inf revient à faire l'hypothèse de complétude...si bien que le raisonnement est circulaire...

[invitedf667161]

Salut.

Ca dépend en effet de comment on construit R. Si on le construit comme le complété de Q, ce travail ne sert à rien.

Si on le construit autrement ou bien, comme c'est souvent le cas, si on ne le construit pas et qu'on se contente d'énoncer l'existence d'une borne sup, il est rassurant de pouvoir montrer qu'il est complet.

[invite870bfaea]

Non ce n'est pas correct.

k est une variable muette, elle ne doit apparaitre nulle part.

Je te réécris la définition de v_n avec des mots : " v_n c'est le plus grand terme de la suite u après le rang n ".

Le fait que v soit décroissante se voit comme cela :
Si p > n, le plus grand terme de u après p est forcément plus petit (ou égal) que le plus grand terme de u après n. Eh oui, puisqu'il y a moins de termes après p que après n.

Tu dirais que je suis soulante .. mais j'ai encore un gros probleme avec cette suite .. ...
parceque le problème c'est que j'ai toujours ce raisonnement et que j'arrive pas a l'enlever le rainsoment est le suivant .. que si Remarque : ; même remarque avec
donc quand je suis ce que tu m'as dis ..

c'est le plus grand terme de la suite u après le rang n .
c'est le plus grand terme de la suite u après le rang n+1 ..

Pourquoi serait elle décroissante celle la ????

[invite870bfaea]

Je crois que je vois mieux la il suffisais de voir que cet ensemble contient les tel que donc son sup est supérieur donc

[invite455504f8]

Salut.

Ca dépend en effet de comment on construit R. Si on le construit comme le complété de Q, ce travail ne sert à rien.

Si on le construit autrement ou bien, comme c'est souvent le cas, si on ne le construit pas et qu'on se contente d'énoncer l'existence d'une borne sup, il est rassurant de pouvoir montrer qu'il est complet.

oui, admettre la propiété de borne inf (ou sup) ça doit être équivalent à définir R par les coupures de Dedekind

[invite870bfaea]

Une question m'est intervenu de passage au lieu de montrer que u_n et v_n sont adjacentes .. je calcule lim u_n - v_n = 0 quand n tend vers l'infini ..


Quelqu'un aurrait une idée ?

[invite455504f8]

Une question m'est intervenu de passage au lieu de montrer que u_n et v_n sont adjacentes .. je calcule lim u_n - v_n = 0 quand n tend vers l'infini ..


Quelqu'un aurrait une idée ?

elles ne sont pas adjacentes de toute façon.
V_n est décroissante et minorée: elle converge ok? (on admet la propriété de borne inf)
soit V la limite.
ensuite tu écris que U_n est de Cauchy: pour un donné au delà d'un certain rang N tu as:
pour TOUT p>n>N .
et puis...à toi de finir

[invite870bfaea]

Ok merci d'avoir répondu Je vais essayer de voir ce que tu m'as dis tout de suite et je te l dis si j'y arrive pas ..

Merci Bien !