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racine -nième : suite de Cauchy



  1. #1
    black templar

    racine -nième : suite de Cauchy


    ------

    Bonjour à tous.
    On a commencé le programme d'analyse et le prof nous a montrer comment à été formé le corps de Réels : Limite d'une suite de Cauchy de Rationnelle.

    Et on a étudier vite fait la suite de Newton pour introduire le chapitre :



    La limite de cette suite en l'infinie est


    J'ai voulu généralisé la formule pour trouver la suite qui donnait la valeur approchait de la racine -nième d'un nombre.

    Je suis arrivé en tatonant à trouver les racines carrées d'un nombre :




    Et pour les racines -nième, j'ai dérivé cette formule. (en remplaçant U(n+1) par Y et Un par X)
    ça me donne :

    J'ai magouillé cette formule, je l'ai primitivé et s'obtient :


    Ce qui donne :

    La formule est bonne. Le problème, c'est que je n'arrive pas à construire un raisonnement mathématiques pour l'obtenir !! C'est toujours par tâtonnement...

    J'airais voulu savoir comment je pouvais obtenir cette formule plus scientifiquement...

    -----
    Newton 150/750 sur EQ5 et 1000D non défiltré

  2. Publicité
  3. #2
    g_h

    Re : racine -nième : suite de Cauchy

    Tu as vu l'étude des suites définies par Un+1 = f(Un) en cours ?
    Les propriétés de f et de f-Id te permettent d'étudier précisément ta suite, de trouver les points fixes, et pourquoi pas les limites selon la valeur du premier terme.
    Ta fonction a l'air un peu compliquée, mais rien ne dit que ça n'aboutisse pas !

    (par contre, attention à tes notations dans ton message, notemment au niveau de la limite, faire intervenir n à gauche et à droite dans la limite me paraît pas très conforme )

  4. #3
    indian58

    Re : racine -nième : suite de Cauchy

    Pour trouver une valeur approchée de l=a1/n ou a est un nombre positif, on considère le polynôme P=Xn-a. l est donc racine P. Ensuite tu applique la méthode de Newton. Tu choisis d'abord une première valeur x0 pas trop loin de a de telle façon que P(x0) soit assez petit. Alors, tu considères la suite . Sa limite est l.

  5. #4
    black templar

    Re : racine -nième : suite de Cauchy

    Citation Envoyé par g_h Voir le message
    Tu as vu l'étude des suites définies par Un+1 = f(Un) en cours ?
    Les propriétés de f et de f-Id te permettent d'étudier précisément ta suite, de trouver les points fixes, et pourquoi pas les limites selon la valeur du premier terme.
    Non, je ne pense pas avoir vu cela en cour. Qu'est-ce que Id (dans f-Id) ??

    Citation Envoyé par g_h Voir le message
    (par contre, attention à tes notations dans ton message, notemment au niveau de la limite, faire intervenir n à gauche et à droite dans la limite me paraît pas très conforme )
    En effet, il y a une petite erreur qui s'est glissé dans ma limite c'est la limite de Um quand m tend vers l'infini :


    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Alors, tu considères la suite . Sa limite est l.
    P', c'est bien la dérivé du polynome ?? Donc on peut le remplacé par nXn-1 ??
    Newton 150/750 sur EQ5 et 1000D non défiltré

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    g_h

    Re : racine -nième : suite de Cauchy

    Id désigne la fonction

    Sinon, oui, P' est bien la dérivée de P, faut pas chercher loin

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