racine -nième : suite de Cauchy

[black templar]

Bonjour à tous.
On a commencé le programme d'analyse et le prof nous a montrer comment à été formé le corps de Réels : Limite d'une suite de Cauchy de Rationnelle.

Et on a étudier vite fait la suite de Newton pour introduire le chapitre :



La limite de cette suite en l'infinie est


J'ai voulu généralisé la formule pour trouver la suite qui donnait la valeur approchait de la racine -nième d'un nombre.

Je suis arrivé en tatonant à trouver les racines carrées d'un nombre :




Et pour les racines -nième, j'ai dérivé cette formule. (en remplaçant U(n+1) par Y et Un par X)
ça me donne :

J'ai magouillé cette formule, je l'ai primitivé et s'obtient :


Ce qui donne :

La formule est bonne. Le problème, c'est que je n'arrive pas à construire un raisonnement mathématiques pour l'obtenir !! C'est toujours par tâtonnement...

J'airais voulu savoir comment je pouvais obtenir cette formule plus scientifiquement...
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[g_h]

Tu as vu l'étude des suites définies par U_n+1 = f(U_n) en cours ?
Les propriétés de f et de f-Id te permettent d'étudier précisément ta suite, de trouver les points fixes, et pourquoi pas les limites selon la valeur du premier terme.
Ta fonction a l'air un peu compliquée, mais rien ne dit que ça n'aboutisse pas !

(par contre, attention à tes notations dans ton message, notemment au niveau de la limite, faire intervenir n à gauche et à droite dans la limite me paraît pas très conforme )

[indian58]

Pour trouver une valeur approchée de l=a^1/n ou a est un nombre positif, on considère le polynôme P=Xⁿ-a. l est donc racine P. Ensuite tu applique la méthode de Newton. Tu choisis d'abord une première valeur x₀ pas trop loin de a de telle façon que P(x₀) soit assez petit. Alors, tu considères la suite . Sa limite est l.

[black templar]

Tu as vu l'étude des suites définies par U_n+1 = f(U_n) en cours ?
Les propriétés de f et de f-Id te permettent d'étudier précisément ta suite, de trouver les points fixes, et pourquoi pas les limites selon la valeur du premier terme.

Non, je ne pense pas avoir vu cela en cour. Qu'est-ce que Id (dans f-Id) ??

(par contre, attention à tes notations dans ton message, notemment au niveau de la limite, faire intervenir n à gauche et à droite dans la limite me paraît pas très conforme )

En effet, il y a une petite erreur qui s'est glissé dans ma limite c'est la limite de Um quand m tend vers l'infini :

Alors, tu considères la suite . Sa limite est l.

P', c'est bien la dérivé du polynome ?? Donc on peut le remplacé par nX^n-1 ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[g_h]

Id désigne la fonction

Sinon, oui, P' est bien la dérivée de P, faut pas chercher loin