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Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)



  1. #1
    nitr0-furi0uss

    Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    Bonjour a tous.
    Je me présente, mon prénom est robin, je suis en 2nde MPI, j'ai 15ans, j'habite Auxerre, en Bourgogne plus précisement...Alors voila j'ai un petit problème en maths. Le professeur a commencé a nous parler des nombres rationnels et autres nombres. Je souhaiterais qu'on me démontre ceci: Pourquoi la Racine carré de 3 (je ne sais pas faire le signe ^^ ) n'est pas un nombre rationnel, tout comme la racine carré de 2.... Expliquez avec des mots plutot simples, je suis loin d'etre un expère en maths! =) Merci a tous et Bonne fin de journée.

    Cordialement

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Mathématiques 2nde

    Raisonne par l'absurde et imagine que cette racine carrée soit un nombre rationnel, c'est-à-dire une fraction p/q. Tu en déduis que p² = 3 q²
    A ce moment, tu regardes la décomposition de p en produit de nombres premiers et celle de q aussi.
    Dans p², tous ces nombres premiers apparaissent un nombre pair de fois (prends un exemple), idem pour q². Mais alors, comment serait-il possible que le nombre 3 apparaisse un nombre entier de fois dans p² et un nombre impair de fois dans 3 q² ?
    C'est impossible donc le quotient n'est pas rationnel.
    C'est connu depuis les Grecs, ça.

  4. #3
    Gwyddon

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)


    Discussion déplacée dans la bonne section
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. #4
    nitr0-furi0uss

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    Euuh... je vois pas vraiment
    Y'a pas plus simple? Merci tout de meme.

  6. #5
    Ledescat

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    Citation Envoyé par nitr0-furi0uss Voir le message
    Euuh... je vois pas vraiment
    Y'a pas plus simple? Merci tout de meme.
    En utilisant le lemme de Gauss qui dit: si a divise le produit bc, et que a est premier avec b, alors a divise c.

    Si racine(2)=p/q avec p et q deux entiers premiers entre eux (p et q² aussi au passage).

    Alors en élevant au carré tu obtiens:


    p²=2q² , on a donc p divise 2q², mais p premier avec q², donc p divise 2.

    Les diviseurs de 2 sont 1 et 2, donc p=1 ou p=2.

    Si p=1 alors 1=2q² (impaire=pair absurde)
    Si p=2 alors 4=2q² donc 2=q² avec q entier, pas génial.
    Cogito ergo sum.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    nitr0-furi0uss

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    "Si racine(2)=p/q avec p et q deux entiers premiers entre eux (p et q² aussi au passage)"

    p et q aussi au passage : p aussi au carré ou juste q?

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  10. #7
    Ledescat

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    Je veux dire que si p et q sont premiers entre eux, alors p et q² sont aussi premiers entre eux.
    Cogito ergo sum.

  11. #8
    nitr0-furi0uss

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    Premier entre eux sa veux dire qu'on ne peut pas plus les reduire c'est sa?

  12. #9
    Ledescat

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    Citation Envoyé par nitr0-furi0uss Voir le message
    Premier entre eux sa veux dire qu'on ne peut pas plus les reduire c'est sa?
    Fraction irréductible si tu veux.
    Leur seul diviseur commun est 1.
    Cogito ergo sum.

  13. #10
    nitr0-furi0uss

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    J'ai pris pour exemple p=3 et q=2
    Problème : p² est different de 2q²
    Ou est ce que je me suis trompé?

  14. #11
    nitr0-furi0uss

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    Bon me revoila.
    Alors j'arrive enfin avec la racine carré de 2 :
    Voila ma demarche dites moi ce que vous en pensez!

    Alors supposons que V2 soit rationnel :

    V2 = a/b
    a = bV2

    On élève au carré

    a² = 2b²
    Donc a est pair ( expliquez moi pouruqoi il est pair, la c'est le prof qui nous la dit )

    Ensuite :
    a = 2x
    a² = 4x² = 2b²
    b² = 2x²
    Donc b est pair.

    Conclu, a et b sont pairs, ils ne sont donc pas premiers entre eux.


    Pouvez me faire avec la meme demarche la racine carré de 3 svp! Merci bien et bonne journée a tous!

  15. #12
    Ledescat

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    Citation Envoyé par nitr0-furi0uss Voir le message

    a² = 2b²
    Donc a est pair ( expliquez moi pouruqoi il est pair, la c'est le prof qui nous la dit )
    Cette conclusion est très hâtive sans plus d'explication.
    Toute sa démonstration réside sur ce point, qui n'est pas une trivialité comme ça semble être énoncé.
    Cogito ergo sum.

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  17. #13
    nitr0-furi0uss

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    Je comprends pas vraiment ce que vous voulez dire....
    Ma conclusion serait-elle trop rapide? si c'est bien ce que j'ai compris.
    Dans ce cas, expliquez moi alors quelle demarche suivre pour arriver a cette conclusion.

  18. #14
    Ledescat

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    Passer de a²=2b²
    à "a est pair", c'est un argument assez fort. AU premier coup d'oeil on peut dire a² est pair, mais rien de plus sans autre explication.

    Regarde la démo que j'avais faite.
    Cogito ergo sum.

  19. #15
    nitr0-furi0uss

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    il me semble qu'il y a un rapport avec les multiples, a serait ici multiple de 2 ou divisible par 2

  20. #16
    Gwyddon

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    Comme le dit Ledescat, une chose est sûre avec a2=2b2 : a2 est bien pair.

    Maintenant, il s'agit d'en déduire que a est pair.

    Une méthode pour le démontrer, c'est d'écrire la division euclidienne de a par 2 : soit a=2k (a serait alors pair), soit a=2k'+1

    Le premier cas ne nous intéresse a priori pas dans le sens où il n'y a plus rien à démontrer.

    Si tu supposes maintenant que a=2k'+1, que se passe-t'il quand tu élèves a au carré ? As-tu a2 pair ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  21. #17
    nitr0-furi0uss

    Re : Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

    Non a n'est plus pair!! enfin je crois ^^

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