Mathématiques 2nde : irrationnalité de racine(2), racine(3)

[invitef90d33bf]

Bonjour a tous.
Je me présente, mon prénom est robin, je suis en 2nde MPI, j'ai 15ans, j'habite Auxerre, en Bourgogne plus précisement...Alors voila j'ai un petit problème en maths. Le professeur a commencé a nous parler des nombres rationnels et autres nombres. Je souhaiterais qu'on me démontre ceci: Pourquoi la Racine carré de 3 (je ne sais pas faire le signe ^^ ) n'est pas un nombre rationnel, tout comme la racine carré de 2.... Expliquez avec des mots plutot simples, je suis loin d'etre un expère en maths! =) Merci a tous et Bonne fin de journée.

Cordialement
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[invitea3eb043e]

Raisonne par l'absurde et imagine que cette racine carrée soit un nombre rationnel, c'est-à-dire une fraction p/q. Tu en déduis que p² = 3 q²
A ce moment, tu regardes la décomposition de p en produit de nombres premiers et celle de q aussi.
Dans p², tous ces nombres premiers apparaissent un nombre pair de fois (prends un exemple), idem pour q². Mais alors, comment serait-il possible que le nombre 3 apparaisse un nombre entier de fois dans p² et un nombre impair de fois dans 3 q² ?
C'est impossible donc le quotient n'est pas rationnel.
C'est connu depuis les Grecs, ça.

[invite9c9b9968]

Discussion déplacée dans la bonne section

[invitef90d33bf]

Euuh... je vois pas vraiment
Y'a pas plus simple? Merci tout de meme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Euuh... je vois pas vraiment
Y'a pas plus simple? Merci tout de meme.

En utilisant le lemme de Gauss qui dit: si a divise le produit bc, et que a est premier avec b, alors a divise c.

Si racine(2)=p/q avec p et q deux entiers premiers entre eux (p et q² aussi au passage).

Alors en élevant au carré tu obtiens:


p²=2q² , on a donc p divise 2q², mais p premier avec q², donc p divise 2.

Les diviseurs de 2 sont 1 et 2, donc p=1 ou p=2.

Si p=1 alors 1=2q² (impaire=pair absurde)
Si p=2 alors 4=2q² donc 2=q² avec q entier, pas génial.

[invitef90d33bf]

"Si racine(2)=p/q avec p et q deux entiers premiers entre eux (p et q² aussi au passage)"

p et q aussi au passage : p aussi au carré ou juste q?

[invitec053041c]

Je veux dire que si p et q sont premiers entre eux, alors p et q² sont aussi premiers entre eux.

[invitef90d33bf]

Premier entre eux sa veux dire qu'on ne peut pas plus les reduire c'est sa?

[invitec053041c]

Premier entre eux sa veux dire qu'on ne peut pas plus les reduire c'est sa?

Fraction irréductible si tu veux.
Leur seul diviseur commun est 1.

[invitef90d33bf]

J'ai pris pour exemple p=3 et q=2
Problème : p² est different de 2q²
Ou est ce que je me suis trompé?

[invitef90d33bf]

Bon me revoila.
Alors j'arrive enfin avec la racine carré de 2 :
Voila ma demarche dites moi ce que vous en pensez!

Alors supposons que V2 soit rationnel :

V2 = a/b
a = bV2

On élève au carré

a² = 2b²
Donc a est pair ( expliquez moi pouruqoi il est pair, la c'est le prof qui nous la dit )

Ensuite :
a = 2x
a² = 4x² = 2b²
b² = 2x²
Donc b est pair.

Conclu, a et b sont pairs, ils ne sont donc pas premiers entre eux.


Pouvez me faire avec la meme demarche la racine carré de 3 svp! Merci bien et bonne journée a tous!

[invitec053041c]

a² = 2b²
Donc a est pair ( expliquez moi pouruqoi il est pair, la c'est le prof qui nous la dit )

Cette conclusion est très hâtive sans plus d'explication.
Toute sa démonstration réside sur ce point, qui n'est pas une trivialité comme ça semble être énoncé.

[invitef90d33bf]

Je comprends pas vraiment ce que vous voulez dire....
Ma conclusion serait-elle trop rapide? si c'est bien ce que j'ai compris.
Dans ce cas, expliquez moi alors quelle demarche suivre pour arriver a cette conclusion.

[invitec053041c]

Passer de a²=2b²
à "a est pair", c'est un argument assez fort. AU premier coup d'oeil on peut dire a² est pair, mais rien de plus sans autre explication.

Regarde la démo que j'avais faite.

[invitef90d33bf]

il me semble qu'il y a un rapport avec les multiples, a serait ici multiple de 2 ou divisible par 2

[invite9c9b9968]

Comme le dit Ledescat, une chose est sûre avec a²=2b² : a² est bien pair.

Maintenant, il s'agit d'en déduire que a est pair.

Une méthode pour le démontrer, c'est d'écrire la division euclidienne de a par 2 : soit a=2k (a serait alors pair), soit a=2k'+1

Le premier cas ne nous intéresse a priori pas dans le sens où il n'y a plus rien à démontrer.

Si tu supposes maintenant que a=2k'+1, que se passe-t'il quand tu élèves a au carré ? As-tu a² pair ?

[invitef90d33bf]

Non a n'est plus pair!! enfin je crois ^^