[exo] [3°] Irrationnalité de racine de 2

[invite63e1a162]

Bonsoir, je suis en seconde, et le prof nous a donné un exercice dont les questions sur le livre de maths sont assez mal formulées ou précises. J'aimerai que quelqu'un puisse m'éclaircir sur la toute derniere question parce que je ne la comprend pas...Merci! voici la consigne ainsi que les questions, et en meme temps mes reponses.

"On suppose que V2 (racine carré de 2) est rationnel, c'est à dire qu'il s'écrit sous forme irréductible, p:q, p et q étant des entiers naturels non nuls.

1) justifier que p au carré = 2 x q au carré

réponse:
V2 = p:q
donc q x V2 = q x p:q
q x V2 = p

donc q au carré x V2 au carré = p au carré
p au carré = V2 au carré x q au carré
donc p au carré = 2 x q au carré

2) a° suivant le dernier chiffre de p, quel est le dernier chiffre de son carré? (faire un tableau)

Sans faire le tableau: sachant que les chiffres représentent: o,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Le dernier chiffre est 9; son carré est 81, et le dernier chiffre de ce carré est 1.
Est ce bien cela?

b° suivant le dernier chiffre de q, quel est le dernier chiffre de 2 x q au carré?

les chiffres q sont: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
q au carré: 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
2 x q au carré: 0 2 8 18 32 50 72 98 128 162

Le dernier chiffre de 2 x q au carré est 162.

3) a° Si on a p au carré = 2 x q au carré, quelle est la seule possibilité pour leur dernier chiffre?

j'ai noté: on a pu voir dans le tableau precedent que 2 x q au carré donnait toujours un nombre pair. donc le dernier chiffre ne peut pas etre 9, car celui ci est un chiffre impair. oR, la seule possibilité de dernier chiffre est 8.

b° dans ce cas, par quel chiffre se termine p? Par quels chiffres peut se terminer q?
La fraction p:q est elle alors irréductible?
puis conclure...

on ma dit que pour p la réponse était 64, et donc le chiffre est 4...mais pas sur...

merci d'avance pour votre aide
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[inviteeecca5b6]

J'ai pas compris le rapport entre la question 2a et ta reponse...

Pourquoi tu fais pas comme dans la question 2b ? Je sais pas comment t'en deduit que c'est 81, donc 1 !

[azt]

Bonsoir,

1) Ca ma l'air juste
2a) il faut faire un tableau comme celui que tu as fais pour le 2b
2b) 162 n'est pas un chiffre c'est un nombre ... Quel est donc le dernier chiffre de 2q² ?
3) Il faut comparer les chiffres des deux tableaux
4) Si tu as bien répondu aux questions au dessus, la question te paraitra plus simple

[invite63e1a162]

Bonsoir,

1) Ca ma l'air juste
2a) il faut faire un tableau comme celui que tu as fais pour le 2b
2b) 162 n'est pas un chiffre c'est un nombre ... Quel est donc le dernier chiffre de 2q² ?
3) Il faut comparer les chiffres des deux tableaux
4) Si tu as bien répondu aux questions au dessus, la question te paraitra plus simple

oui donc pour la question 2b) le chiffre est 2.
mais pour la question 3) je ne comprends pas bien lorsque tu me dis qu'il faut comparer...comment faut il faire? cela veut dire que ce que j'ai repondu est faux?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63e1a162]

J'ai pas compris le rapport entre la question 2a et ta reponse...

Pourquoi tu fais pas comme dans la question 2b ? Je sais pas comment t'en deduit que c'est 81, donc 1 !

parce que dans le nombre 81 le dernier chiffre est 1,

[invite9c9b9968]

oui donc pour la question 2b) le chiffre est 2.
mais pour la question 3) je ne comprends pas bien lorsque tu me dis qu'il faut comparer...comment faut il faire? cela veut dire que ce que j'ai repondu est faux?

Bonjour nelly

Je crois qu'il vaut mieux éclaircir tout le problème, et pas seulement la dernière question

Comme te le dis azt, la réponse aux questions 2a et 2b sont des tableaux de chiffres, car tu ne sais pas a priori la valeur de p et de q.

Donc la réponse à la 2b n'est pas 2, car rien n'oblige q à se terminer par le chiffre 9 ; c'est un tableau dont la dernière colonne sera 2. Mais il faut aussi faire le reste du tableau, ce que tu as d'ailleurs fait

Ensuite, il faut se demander "qu'est ce qu'on m'a fait faire jusque là ?".
Tu as deux tableaux qui te donnent les derniers chiffres possibles de p^2 et 2*q^2.

Or d'après la question 1, si on suppose rationnel on a p^2 = 2*q^2 donc nécessairement ils ont même dernier chiffre.

Donc il faut choisir dans les deux tableaux la(ou les) colonnes qui correspondent à cette situation : celle où le dernier chiffre de p^2 et le dernier chiffre de q^2 sont identique. Tu sauras ainsi à quel dernier chiffre de p et quel dernier chiffre de q cela correspond.

Ensuite, pour la 3b souviens-toi que l'on a suppposé p/q irréductible ....

Bonne journée

[invitedebe236f]

pour 2
selon dernier de p -> son carre
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81

donc un nombre au carre fini toujours par 0 1 4 5 6 9 et c est tous
2b dernier chiffre possible 0 2 8 et c est tous
donc 3 seule possibilite 0 = 0

donc p et q finisse par 0 donc c est pas irreductible donc ....
racine(2) ne peut s ecrire e p/q

[inviteeecca5b6]

parce que dans le nombre 81 le dernier chiffre est 1,

Ma question etait en fait: comment tu trouves 81 ? Pour le 1 j'avais compris