ensemble de fonctions

[invitecf6fadbf]

Bonjour je dois déterminer l'ensemble des fonctions f définies sur R telles que: f continue en 0
et pour tout (x,y)dans R² f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)

J'a répondu à plusieurs questions mais certaines me posent des problémes
1) Si f n'est pas constante, démontrer alors que: pour tout x de R, f(x) différent de -1.

2) On pose g=1+f
quelle est l'équation vérifiée par g?
en déduire que g(nx)=[g(x)]ⁿ (ça je l'ais fait mais pas l'équation je ne comprends pas!)
En admettant que pour tout réel x, il existe une suite (r_n) de rationnels tels que lim quand n tend vers +infini de r_n=x, déterminer la valeur de g(x) pour x de R.

Voila je vous remercie infiniment de m'aider car ça fait 3heures que je planche dessus...
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[inviteaf1870ed]

1-As tu calculé f(0) ? qu'as tu trouvé ?
2-Calcule g(x)g(y)

[invited7005a5b]

Salut.
1)- On te demande de montrer que si f n'est pas constante,alors f(x) different de -1. Il te faut ici appliquer un raisonnement par l'absurde,en supposant qu'il existe un réel x tel que f(x)=-1.Ainsi en remplacant dans f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), f(x) par -1 tu aboutiras as f(x+y)=-1 quelque soit y,autrement dit f sera une constante ce qui est contradictoire a l'hypothèse f n'est pas une constante.D'ou le resultat f(x) toujours different de -1.
2)- Ici g=1+f, donc g(x+y)=1+f(x+y)=1+f(x)+f(y)+f( x)f(y)
En exprimant f(x)f(y) en fonction de g grace aux relations g(x)=1+f(x) et g(y)=1+f(y) qu'on multiplient ,on a f(x)f(y)=g(x)g(y)-f(x)-f(y)-1, donc g(x+y)=1+f(x)+f(y)+g(x)g(y)-f(x)f(y)-1 d'ou donc g(x+y)=g(x)g(y)
De cette relation tu deduit,par exemple, g(2X)=g(x)² puis g(3X)=g(x+2x)=g(x)g(2x)=[g(x)]^3 et ainsi de suite Tu auras donc par recurrence g(nx)=[g(x)]^n
Et en ce qui concerne ta dernière question essaye d'etre un peu plus clair;est-ce qu'il s'agit de determiner g(x) quand x=r(n) et n tend vers + l'infini?

[invitecf6fadbf]

Merci beaucoup pour l'aide!! Pour la derniére question en fait j'ai une suite de rationels, (rn) dont la limite à l'infini est x et donc je dois déterminer à partir de ça la valeur de g(x) pour x dans R

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Attention : il faut une condition de continuité ou de monotonie sur g pour pouvoir passer à la limite !