Preuve originale de l'infinitude des nombres premiers

[invited6afcb96]

Bonjour à tous !

Je viens de m'inscrire sur ce forum. L'ayant parcouru quelques minutes, je tiens déjà à dire que je le trouve vraiment très bien. Certaines personnes semblent vraiment très douées et les problèmes posés sont intéressants.

Personnellement j'ai un niveau école d'ingé et pour diverses raisons personnelles je me re-lance dans l'étude des mathématiques pour tenter une agrégation.

Dans ce but j'étudie un certain nombre de problèmes dont un sur les diverses preuves de l'infinitude des nombres premiers. Ce problème propose par une douzaine de façons différentes de prouver que P est infini. Et il y a une méthode sur laquelle je bute complètement. Je commence à désespérer de trouver la solution, aussi j'aimerais beaucoup vous la soumettre, certains trouveront peut-être la solution

La question est celle-ci: on suppose que l'ensemble P des nombres premiers est fini: P={p1, p2,....,pr} r entier plus grand que 1.
A l'aide d'une décomposition en facteurs premiers, prouver que si n est un entier plus grand que 2, alors:
2^n < (n+1)^r
En déduire une contradiction, donc que P est infini.


J'ai cherché longuement sur le net, peut-être ce problème est-il un "classique" mais je n'ai rien trouvé.
Je ne vois même pas quelle nombre faut-il décomposer en facteurs premiers pour obtenir cette inégalité. J'ai essayé avec n, factorielle n, le produit p1*p2*...*pr mais je ne suis pas arrivé à la réponse demandée.
Après des heures de calage, je demande à l'aide !!
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[invite3bc71fae]

Pour l'instant, mon axe de recherche est de savoir en quoi la finitude du nombre de nombres premiers conduit ce nombre à être suffisamment grand pour que l'inégalité soit vraie et j'avoue que les décompositions que j'ai utilisées ne m'aident pas beaucoup...Hélas

[invite3bc71fae]

En tout cas, l'inégalité est vraie au rang 2 car 2²<3r car 2 et 3 étant des éléments de P r>=2.

L'hérédité semble plus délicate que l'initialisation...

[invite69d38f86]

bonsoir,

une piste possible:
le deuxieme terme de l'inegalite correspond au cardinal de l'ensemble des nombres obtenus à partir de P en utilisant dans la décomposition, des exposants de valeur maximum n.(applications de 1..r dans 0..n
pour le premier terme:
On peut regrouper les nombres de cette famille par sous ensembles indexes en binaire par un nombre de n positions suivant l'utilisation ou non de chaque exposant.
par exemple avec n = 4: 0101 por p2 et p4 apparaissant dans la décomposition et non p1 et p3.
on a les applications de 1..n dans (0,1) de cardinal 2^n
l'inégalité est immédiate.
Reste à trouver la contradiction avec la fiinitude de P!
Bon je me recouche

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

bonjour,

j'étais un peu fatigué lors de mon dernier post. dans l'exemple 0101 indice la famille des nombres dont la decomposition fait apparaitre les exposants 2 et 4 et non 1 et 3.

2^N est une notation pour R. Y a t il une bijection entre N et R qui apparaitrait?

bon courage

[invited6afcb96]

l'inégalité est immédiate.
Reste à trouver la contradiction avec la fiinitude de P!
Bon je me recouche

Merci à tous pour vos réponses.

La contradiction, je pense que comme r est fixé, pour n assez grand, on obtient 2^n > (n+1)^r
ce qui contredit la première inégalité

je relis bien en détail vos réponses, merci beaucoup !!

[inviteb47fe896]

L'inégalité 2^n < (n+1)^r n'est pas vérifiée quel que soit n ; il suffit de comparer les logarithmes des deux expressions pour s'en rendre compte. Ne manque-t-il pas une hypothèse dans votre problème ?

[invitedf667161]

L'inégalité 2^n < (n+1)^r n'est pas vérifiée quel que soit n ; il suffit de comparer les logarithmes des deux expressions pour s'en rendre compte. Ne manque-t-il pas une hypothèse dans votre problème ?

L'hypothèse en question est que le nombres premiers sont en nombre finis.

[invited6afcb96]

Non justement car c'est une inégalité qui est en effet contredite. C'est cette contradiction qui prouve que P est infini.

Le but est de trouver cette inégalité avec l'hypothèse que l'ensemble des nombres premiers n'a que r éléments.

[invitedf667161]

bonsoir,

une piste possible:
le deuxieme terme de l'inegalite correspond au cardinal de l'ensemble des nombres obtenus à partir de P en utilisant dans la décomposition, des exposants de valeur maximum n.(applications de 1..r dans 0..n
pour le premier terme:
On peut regrouper les nombres de cette famille par sous ensembles indexes en binaire par un nombre de n positions suivant l'utilisation ou non de chaque exposant.
par exemple avec n = 4: 0101 por p2 et p4 apparaissant dans la décomposition et non p1 et p3.
on a les applications de 1..n dans (0,1) de cardinal 2^n
l'inégalité est immédiate.
Reste à trouver la contradiction avec la fiinitude de P!
Bon je me recouche

Bonjour, ça parait intéressant mais je ne comprends pas le deuxième argument. En indexant comme toi, j'aurais dit qu'on trouvait les applications de {0,1} dans {1,...,r} et non {1,...,n}. Du coup ça ne marche plus.

Par contre on peut adapter rapidement. Soit A l'intervalle d'entiers [1,2^n] et B l'ensemble des nombres que l'on peut écrire à partir des nombres de P avec des exposants entre 0 et n:


Puisque P est l'ensemble de tous les nombres premiers, tous les éléments de A se décomposent sur les éléments de P, et de plus les éléments de A sont dans B. C'est facile à voir par une simple inégalité : tous les éléments de P sont plus grands que 2 et tous ceux de A plus petits qui 2^n.

Donc A est inclu dans B et #A = 2^n et #B=(n+1)^r.
La contradiction suit comme a dit mat_mat parce que r est fixé et que n peut être grand.

[invited6afcb96]

Ah vu comme ça, tout semble coller.

Grand merci !! Je vais pouvoir poursuivre le problème.