Bonsoir,
Je bloque sur un exercice traitant des nombres réels, voici l'énoncé :
Soit G une partie non vide de IR vérifiant :
Quelque soit (x,y) appartenant à G2, alors x-y appartient à G.
1) Vérifier que 0 appartient à G et que quelque soit x dans G et n dans Z, nx appartient à G.
J'ai pu résoudre cette question par réccurence.
2) Soit H={x appartenant à G tel que x>0}. Montrer que H admet une borne supérieure.
Je bloque sur cette question alors si vous pouvez m'aider merci d'avance
Bonjour.
Quelles conditions dois-tu avoir pour qu'un ensemble de IR ait une orne sup ?
J'ai cherché à prouver que H est non vide et majoré mais je n'y arrive pas.Envoyé par Ledescat
Soit dit en passant, j'ai un doute en voyant l'énoncé. On ne te demande pas plutôt de prouver l'existence d'une borne inférieure ?
Parce que sinon c'est faux...
EDIT : afin d'être plus explicite, voici la démonstration du caractère non borné supérieurement de H, dans le cas H non vide.
Si H non vide, il existe x dans H nécessairement différent de zéro. Donc on a un x non nul, et qui est aussi élément de G.
D'après la première question, alors pour tout n>0 nx est aussi dans H ; ceci suffit à prouver le caractère non borné supérieurement de H.
Il est évident que G=IR lui-même est un exemple de telle partie de IR. Pour ce cas H=R+* qui n'a évidemment pas de borne supérieure.
Je subodore donc qu'il s'agit d'e borne inférieure (d'ailleurs vu le classicisme de la question, sauf dans le 1er abord qui est plutôt original, il n'y a guère de doute).
Une fois modifié, tu as déjà à moitié répondu. (Encore faut-il éliminer le cas G={0} qui lui aussi convient mais H est vide donc n'admet pas de borne inférieure)
La deuxième question est en effet en contradiction avec la première, puisque si G n'est pas réduit à 0, H n'est pas majoré. En remplaçant borne supérieure par borne inférieure, l'énoncé prend plus de sens, mais là encore, le cas particulier où G est réduit à 0 donne H vide…
Bon je vois que l'on a pensé à la même chose, et au même type d'exercice (sous-[trouvez le bon mot] additif de IRIl est évident que G=IR lui-même est un exemple de telle partie de IR. Pour ce cas H=R+* qui n'a évidemment pas de borne supérieure.
Je subodore donc qu'il s'agit d'e borne inférieure (d'ailleurs vu le classicisme de la question, sauf dans le 1er abord qui est plutôt original, il n'y a guère de doute).
Une fois modifié, tu as déjà à moitié répondu. (Encore faut-il éliminer le cas G={0} qui lui aussi convient mais H est vide donc n'admet pas de borne inférieure
Non, c'est comme ça l'enoncé, mais moi aussi j'ai un doute, car si x appartient à G, alors nx appartient à G et n peut tendre jusqu'à l'infini
Mais si on prend G égal au single-ton 0, on trouvera que H est vide donc borné
Vous avez une idée ?
Merci
Entre temps il y a eu d'autres réponses
homotopie et moi partageons la même idée, à savoir que le sujet comporte très certainement une coquille et qu'il te faut prouver que H admet une borne inférieure. Si tu veux poursuivre jusqu'au bout le sujet d'ailleurs, voici ce que je te propose après :
_ répondre à "que dire de G si cette borne inférieure est non nulle ?"
_ répondre à "que dire de G si cette borne inférieure est nulle ?"
Merci beaucoup Gwyddon, je vais demander au prof, peut etre que c'est une faute de frappe.Entre temps il y a eu d'autres réponses
homotopie et moi partageons la même idée, à savoir que le sujet comporte très certainement une coquille et qu'il te faut prouver que H admet une borne inférieure. Si tu veux poursuivre jusqu'au bout le sujet d'ailleurs, voici ce que je te propose après :
_ répondre à "que dire de G si cette borne inférieure est non nulle ?"
_ répondre à "que dire de G si cette borne inférieure est nulle ?"
SVP, est-ce que vous pouvez m'aider pour trouver une piste pour cette question :
Soit f de R dans R croissante tq f(x+y) = f(x)+f(y),
J'ai pu démontrer que quelque soit n dans Z on a f(n)=nf(1), mais il demande après de montrer que :
Quelque soit q dans Q, on a f(q)=qf(1), et je ne vois vraiment pas comment.
Merci d'avance
Il faut que tu montres d'abord que pour tout n > 0 (entier) f(1/n) = 1/n * f(1)
Oui c'est ce que j'ai essayé de faire, mais je ne trouve pas comment..
Une autre façon de l'écrire est nf(1/n)=f(1).
Oui je sais... mais est-ce que ça ce fait par récurrence ?
Oui, d'un type voisin de ce que tu as déjà fait d'ailleurs.
EDIT : enfin cette fois tu ne pars pas de (n-1)f(1/(n-1))=f(1) mais l'astuce est la même qu'utilisé précédemment.
Voilà ce que ça fait de répondre en lisant un énoncé en diagonale !
