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Ensemble R



  1. #1
    Gunboy

    Ensemble R


    ------

    Bonsoir,
    Je bloque sur un exercice traitant des nombres réels, voici l'énoncé :

    Soit G une partie non vide de IR vérifiant :
    Quelque soit (x,y) appartenant à G2, alors x-y appartient à G.

    1) Vérifier que 0 appartient à G et que quelque soit x dans G et n dans Z, nx appartient à G.

    J'ai pu résoudre cette question par réccurence.

    2) Soit H={x appartenant à G tel que x>0}. Montrer que H admet une borne supérieure.

    Je bloque sur cette question alors si vous pouvez m'aider merci d'avance

    -----

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  4. #2
    Ledescat

    Re : Ensemble R

    Bonjour.

    Quelles conditions dois-tu avoir pour qu'un ensemble de IR ait une orne sup ?
    Cogito ergo sum.

  5. #3
    Gunboy

    Re : Ensemble R

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Bonjour.

    Quelles conditions dois-tu avoir pour qu'un ensemble de IR ait une orne sup ?
    J'ai cherché à prouver que H est non vide et majoré mais je n'y arrive pas.

  6. #4
    Gwyddon

    Re : Ensemble R

    Soit dit en passant, j'ai un doute en voyant l'énoncé. On ne te demande pas plutôt de prouver l'existence d'une borne inférieure ?

    Parce que sinon c'est faux...

    EDIT : afin d'être plus explicite, voici la démonstration du caractère non borné supérieurement de H, dans le cas H non vide.

    Si H non vide, il existe x dans H nécessairement différent de zéro. Donc on a un x non nul, et qui est aussi élément de G.

    D'après la première question, alors pour tout n>0 nx est aussi dans H ; ceci suffit à prouver le caractère non borné supérieurement de H.
    Dernière modification par Gwyddon ; 28/10/2007 à 22h26.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    homotopie

    Re : Ensemble R

    Il est évident que G=IR lui-même est un exemple de telle partie de IR. Pour ce cas H=R+* qui n'a évidemment pas de borne supérieure.
    Je subodore donc qu'il s'agit d'e borne inférieure (d'ailleurs vu le classicisme de la question, sauf dans le 1er abord qui est plutôt original, il n'y a guère de doute).
    Une fois modifié, tu as déjà à moitié répondu. (Encore faut-il éliminer le cas G={0} qui lui aussi convient mais H est vide donc n'admet pas de borne inférieure )

  9. #6
    DSCH

    Re : Ensemble R

    La deuxième question est en effet en contradiction avec la première, puisque si G n'est pas réduit à 0, H n'est pas majoré. En remplaçant borne supérieure par borne inférieure, l'énoncé prend plus de sens, mais là encore, le cas particulier où G est réduit à 0 donne H vide…
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

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  11. #7
    Gwyddon

    Re : Ensemble R

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Il est évident que G=IR lui-même est un exemple de telle partie de IR. Pour ce cas H=R+* qui n'a évidemment pas de borne supérieure.
    Je subodore donc qu'il s'agit d'e borne inférieure (d'ailleurs vu le classicisme de la question, sauf dans le 1er abord qui est plutôt original, il n'y a guère de doute).
    Une fois modifié, tu as déjà à moitié répondu. (Encore faut-il éliminer le cas G={0} qui lui aussi convient mais H est vide donc n'admet pas de borne inférieure )
    Bon je vois que l'on a pensé à la même chose, et au même type d'exercice (sous-[trouvez le bon mot] additif de IR )
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #8
    Gunboy

    Re : Ensemble R

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Soit dit en passant, j'ai un doute en voyant l'énoncé. On ne te demande pas plutôt de prouver l'existence d'une borne inférieure ?

    Parce que sinon c'est faux...
    Non, c'est comme ça l'enoncé, mais moi aussi j'ai un doute, car si x appartient à G, alors nx appartient à G et n peut tendre jusqu'à l'infini
    Mais si on prend G égal au single-ton 0, on trouvera que H est vide donc borné

    Vous avez une idée ?
    Merci

  13. #9
    Gwyddon

    Re : Ensemble R

    Citation Envoyé par Gunboy Voir le message
    Vous avez une idée ?
    Merci
    Entre temps il y a eu d'autres réponses

    homotopie et moi partageons la même idée, à savoir que le sujet comporte très certainement une coquille et qu'il te faut prouver que H admet une borne inférieure. Si tu veux poursuivre jusqu'au bout le sujet d'ailleurs, voici ce que je te propose après :

    _ répondre à "que dire de G si cette borne inférieure est non nulle ?"

    _ répondre à "que dire de G si cette borne inférieure est nulle ?"


    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #10
    Gunboy

    Re : Ensemble R

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Entre temps il y a eu d'autres réponses

    homotopie et moi partageons la même idée, à savoir que le sujet comporte très certainement une coquille et qu'il te faut prouver que H admet une borne inférieure. Si tu veux poursuivre jusqu'au bout le sujet d'ailleurs, voici ce que je te propose après :

    _ répondre à "que dire de G si cette borne inférieure est non nulle ?"

    _ répondre à "que dire de G si cette borne inférieure est nulle ?"


    Merci beaucoup Gwyddon, je vais demander au prof, peut etre que c'est une faute de frappe.

    SVP, est-ce que vous pouvez m'aider pour trouver une piste pour cette question :

    Soit f de R dans R croissante tq f(x+y) = f(x)+f(y),
    J'ai pu démontrer que quelque soit n dans Z on a f(n)=nf(1), mais il demande après de montrer que :

    Quelque soit q dans Q, on a f(q)=qf(1), et je ne vois vraiment pas comment.

    Merci d'avance

  15. #11
    Gwyddon

    Re : Ensemble R

    Il faut que tu montres d'abord que pour tout n > 0 (entier) f(1/n) = 1/n * f(1)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  16. #12
    Gunboy

    Re : Ensemble R

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Il faut que tu montres d'abord que pour tout n > 0 (entier) f(1/n) = 1/n * f(1)
    Oui c'est ce que j'ai essayé de faire, mais je ne trouve pas comment..

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  18. #13
    homotopie

    Re : Ensemble R

    Une autre façon de l'écrire est nf(1/n)=f(1).

  19. #14
    Gunboy

    Re : Ensemble R

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Une autre façon de l'écrire est nf(1/n)=f(1).
    Oui je sais... mais est-ce que ça ce fait par récurrence ?

  20. #15
    homotopie

    Re : Ensemble R

    Citation Envoyé par Gunboy Voir le message
    Oui je sais... mais est-ce que ça ce fait par récurrence ?
    Oui, d'un type voisin de ce que tu as déjà fait d'ailleurs.
    EDIT : enfin cette fois tu ne pars pas de (n-1)f(1/(n-1))=f(1) mais l'astuce est la même qu'utilisé précédemment.

  21. #16
    Ledescat

    Re : Ensemble R

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Bonjour.

    Quelles conditions dois-tu avoir pour qu'un ensemble de IR ait une orne sup ?
    Voilà ce que ça fait de répondre en lisant un énoncé en diagonale !
    Cogito ergo sum.

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