Unicité des solutions d'équation différentielle.

[invite4ef352d8]

Bonsoir !

si on prend f une fonction holomorphe vis a vis de chacune de ces variables. et qu'on considère l'équation différentielle de la variable complexe : f(y,y')=0

qu'elles hypotheses sur f faut t'il pour assurer qu'il n'y ai pas localement deux fonctions solutions vérifiant les meme conditions initiale (par condition initial, j'entend y(0)=a et y'(0)=b avec f(a,b)=0...)

j'imagine que ca doit etre que "la dérive par rapport à la deuxieme variable de f est non nul en (a,b) "... mais j'aimerai avoir confirmation...


et je me pose la meme question pour une équation de degré supérieur (en f(y,y',y''...,y dérivé n fois) =0
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[invitef618c422]

Bonsoir,
on a l'équivalent de Cauchy-Lipschitz (existence et unicité locale) avec en fait la condion f holomorphe justement pas besoin d'exiger plus (pour CL le cas réel on vérifie que la fonction est Lipschitzienne par rapport a sa seconde variable),
cordialement

[invite4ef352d8]

euh, oui mais ca ne s'applique que pour des equation résolue non ?

parceque j'ai des exemples d'equations avec lesquels il y a pas unicité (mais ils sont pas tres simple...)

[invitef618c422]

Bonsoir,
oui tu as raison (désolé je suis alle un peu vite) ton équation est implicite,on peut appliquer le théorème que j'ai cité aux équations résolues.Le cas implicite est plus difficile que le cas résolue ( et je ne sais pas ce qu'on sait en dire dans l'absolu,en général en équa diff pas grand chose en-dehors du cas linéaire) mais ton idée est correcte si ta fonction vérifie le théorème des fonctions implicites on doit s'en sortir sinon .... je ne sais pas.Pour ce qui est de l'uncité globale on a le problème de la monodromie donc pas grand chose a espérer,
cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

ok merci beaucoup !

dans ta derière phrase, tu voulait parlais de l'existence globale non ? (sinon je comprend pas ce que tu veux dire en fait :S )

[invitef618c422]

Non je faisais bien référence à l'unicité globale, par exemple les déterminations du log : le log est pas unique sur C a cause de la 2pi-periodicite de l'expo,on est oblige de fixer un domaine d'injectvité,
cordialement

[invite10a6d253]

Le théorème des fonctions implicites permet (sous l'hypothèse au point (a,b)) de ramener localement l'équation à une équation sous forme standard y' = g(y).
On aura donc unicité de la solution (au voisinage de (a,b)) et donc unicité globale dans la classe des solutions analytiques...c'est une conséquence du théorème de Frobenius.
L'exemple du log évoqué n'est pas valable, précisément parce que l'EDO associée (par exemple y'(z)=1/z) n'est pas à coef analytiques : 0 est une singularité régulière de l'équation.

[invitef618c422]

Oui tu as tout a fait raison mais mon exemple n'avait pas pour but de donner un contre-exemple de fonction satisfaisant les fonctions implictes et sans unicite globale, c'était juste une bête remarque pour indiquer que (peut-etre?) le cas complexe "général" (ie ou la fonction ne vérifie pas necessairement les fonctions implicites) doit se heurter en plus a ce type de difficultées (par rapport au cas réel) mais c'est une théorie dont je connais très très peu de choses (c'est d'ailleurs le cas plus généralement ^^),
cordialement